基于高考真題的高三微專題教學設計

安文華

［摘? 要］ 近年高考解析幾何解答題多以橢圓、拋物線為背景命題，大量的高考真題使得教師在復習備考中有充分的資源進行變式教學. 以拋物線為例，阿基米德三角形的性質是解析幾何中的熱門話題，其以幾何性質為背景，綜合運用解析幾何與函數導數知識，充分體現高考“四翼”考查要求，對阿基米德三角形的性質作進一步的研究對于提高學生對拋物線幾何性質的認識以及培養他們數學美學意識是必要的、有益的.

［關鍵詞］ 阿基米德三角形；題組教學；變式教學

在高三的圓錐曲線專題教學中，很多教師以“教輔資料”為主，整個教學過程中缺少對題目素材的深入理解和重構，缺少從這類例題的講解上提出新的問題與思考，缺少從學生的角度、以高考試題為導向的探究式教學［1］. 近年高考解析幾何解答題多以橢圓、拋物線為背景命題，大量的高考真題使得教師在復習備考中有充分的資源進行選擇和重組，減少對“教輔資料”的依賴，基于高考真題，組織有主題性、啟發性、思想性的題目［2］，開展題組教學或變式教學.

以拋物線為例，阿基米德三角形具有深厚的背景和豐富的內涵，高考命題者對此圖形青睞有加．阿基米德三角形的性質既是命題者的熱點素材（在高考試題中屢見不鮮），也是解析幾何中的熱門話題［3］. 由拋物線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形叫阿基米德三角形，這條弦稱為阿基米德三角形的底邊. 拋物線和它的一條弦所圍成的圖形的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的三分之二，正是這一性質的發現使得阿基米德三角形聞名于世. 基于阿基米德三角形性質的豐富性，以此為情境可以提出求解拋物線方程、切線方程、軌跡方程、弦長、面積等問題. 幫助學生構建熟悉的數學情境，積累必備的數學活動經驗，對阿基米德三角形的性質作進一步的研究對于提高學生對拋物線幾何性質的認識以及培養他們數學美學意識是必要的、有益的［4］.

創設情境，建立模式

在高三復習課上，以典型問題為例解題，是對概念、定義、定理的繼續學習，是對模式、技能、方法的繼續熟練［5］. 高考試題具有較深的背景知識，但由于不了解試題背景，學生在解題過程中可能會面對解題思路不簡潔、解題方法不優化等解題障礙，加強試題背景知識的學習不僅可以拓寬學生的解題思路、優化解法方法，還能加深學生對知識發生發展過程的理解，增強學習熱情與信心． 阿基米德三角形作為典型問題的背景知識，應該由典型問題為情境，通過解題，引導學生建立范例，總結規律，識別模式.

問題1 （2021年高考全國乙卷理數第21題）已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4．

（1）求p；

（2）若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值．

本題考查拋物線的標準方程、平面上一點與圓上一點的距離的最值、拋物線的切線、三角形的面積及最值，要求學生以幾何性質為背景，綜合運用解析幾何與函數導數知識，體現了高考命題的基礎性、綜合性、應用性與創新性等“四翼”考查要求.

稍作變式，局部挑戰

變式教學的基礎是“熟悉”，學生在學習中遇到熟悉的東西，可以鞏固所學知識，再次確認以前所學知識、方法的正確性和有效性. 這不僅是心理上的安慰，還是大腦認知的問題. 熟悉很重要，一般變式教學應設置新舊信息的比例，太簡單就回到舒適區，不利于激發學生的學習動機；太難就到了恐慌區，使學生失去學習與迭代的基礎. 理想狀況是在主體知識、方法不變的情形下對問題稍作變式，保持問題的新鮮，形成局部的挑戰.

問題1中的點P在圓上，轉化為一元函數求三角形面積的最值；問題2中的點P在直線上，求目標函數的最值. 變式雖然從情境上做了改變，但所用的思想方法是相同的.

這樣的推廣和一般化體現了《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中對核心素養水平劃分的要求：能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題［6］.

模式識別，擴展認知

在建立了阿基米德三角形的題根之后，學生就容易將這個“概念”作為一個體系進行掌握，頭腦中有了認知模式與認知結構. 模式識別有利于學生“提取原型”和“積累范例”. 所謂“原型”，就是阿基米德三角形的相關知識、研究方法；所謂“范例”，就是能夠不斷地將新舊知識進行連接，從而擴展認知邊界.

問題4將阿基米德三角形的性質3轉換為逆命題作為第（1）問，并且在第（2）中構造四邊形求面積. 有了對阿基米德三角形性質的總結，學生很容易識別題型模式，并在此基礎上，發揮創造力，應對挑戰. 所謂創造，就是“想法的連接”，如原命題和逆命題的轉換，再如將四邊形分割為兩個三角形求面積，這就是創造. 學生擁有了模式識別的自覺，才能對熟悉和意外有更高的敏感度.

調整參數，過程變式

模式識別，完成“標準動作”當然是基礎，但還遠遠不夠.對于學習能力的激發，有挑戰的任務也是非常有效的刺激物. 學習效果主要取決于學生對知識和技能的提取練習，而變式訓練的策略就是在熟悉的基礎上制造意外，不斷調整題目中的條件和目標，讓知識網絡中的各個參數隨著訓練不斷變化，設計有難度的“非標準動作”，讓學生做判斷和反饋. 熟悉加上意外，將新學的知識和以前所學的知識建立連接，才能使知識和技能不斷增長.

問題5 （2005年高考江西卷理數第22題）設拋物線C：y=x2的焦點為F，動點P在直線l：x－y－2=0上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切于A，B兩點.

（1）求△APB的重心G的軌跡方程；

（2）證明∠PFA=∠PFB.

由阿基米德三角形的性質3可知，AB過拋物線內定點，過A，B的切線交于點P，則點P的軌跡為定直線. 問題5的第（1）問也是軌跡問題，求軌跡是解析幾何的主要問題之一，常用方法有參數法、相關點法等，雖然情境新，但方法與問題1類似.第（2）問結合平面向量，以向量的夾角公式證明∠PFA=∠PFB，鍛煉學生綜合應用知識的能力.

問題6 （2022年寶雞二模第20題）已知曲線C上任一點到點F（3，0）的距離比它到直線x=－5的距離小2，經過點F（3，0）的直線l與曲線C交于A，B兩點.

（1）求曲線C的方程.

（2）若曲線在點A，B處的切線交于點P，求△PAB面積的最小值.

解析 （1）由條件知曲線C上任一點到點F（3，0）的距離與它到直線x=－3的距離相等，所以曲線C：y2=12x.

所以，對于C：y2=12x，△PAB面積的最小值為36.

學生學習數學，每一個新知識都是建立在舊知識基礎上的，心理學家把學生可能面對的學習內容分成三個區：舒適區、學習區和恐慌區.舒適區的內容對學生來說太容易，學生能夠模仿學過的數學方法解決簡單問題；恐慌區的內容太難，要求學生能夠針對具體問題運用或創造數學方法解決問題.課堂教學最好在兩者間的學習區里進行. 變式教學的意義在于著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發展其潛能，在教師的引導和幫助下脫離舒適區，進入學習區刻意練習. 最佳的學習策略是“這個內容必須是一只腳站在熟悉，一只腳站在新鮮、未知和新穎的東西上”，這就是“熟悉+意外”“模式+變式”的教學策略. 題組教學通過舉一反三，豐富學生的學習體驗，進一步深化學生對相關知識點理解，熟練解析法的運用技能. 以此策略進行題組教學，引導學生不斷學習新方法、熟練新技能、拓寬學習區，促進學生獲得“四基”，提高“四能”.

參考文獻：

［1］ 周威. 解題教學中數學抽象素養的“問題提出”視角——以圓錐曲線專題的解題教學為例［J］. 中國數學教育，2020（Z4）：34-37.

［2］ 喻平. 復習課應該怎么上——對賁友林老師《平面圖形的面積總復習》一課的賞析［J］. 教育視界，2020（17）：36-38.

［3］ 王雪堯. 一道高考平面解析幾何試題的思考與探究［J］.? 數學之友，2022，36（17）：87-88+91.

［4］ 邵明志，陳克勤． 高考試題中的阿基米德三角形［J］. 數學通報，2008，47（09）：39-42+46．

［5］ 劉美良. 基于教材的高三微專題教學設計與反思——以“橢圓的對稱性”為例［J］. 中國數學教育，2022（22）：49-54.

［6］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.