高三數學復習課應把握好的三個基本維度

徐小琴 肖涵臏

［摘? 要］ 知識的“廣度”“深度”“厚度”是高三復習課應把握好的三個基本維度，也是對數學知識的高度概括、凝練與深化． 高三復習課對已學知識查漏補缺，也為知識“再現”“再認識”“再創造”提供良好的保障，是知識內化、升華的重要階段． 文章以一堂“函數的對稱性”的復習課為例，從知識“廣度”的延伸、知識“深度”的挖掘、知識“厚度”的積淀進行研究，并倡導數學復習課應把握好“廣度”“深度”“厚度”三個維度．

［關鍵詞］ 高三復習；函數對稱性；廣度；深度；厚度

背景

復習是高三數學教學的主旋律，它通過對已有知識的回顧，實現對高中數學知識的重建構、再完善，進而實現學生學習能力和核心素養的再提升［1］． 高三復習課應注重對知識“廣度”的延伸、對知識“深度”的挖掘、對知識“厚度”的積淀． 三個維度的學習是全方位的學習，不僅對知識橫縱的遷移有廣度要求，對知識難易的深化也有深度要求，對知識積淀有厚度要求．

對稱性是函數重要的性質之一，函數問題的重要解題策略就是從性質出發，這樣能簡化形式復雜的函數問題． 然而，在實際教學中，大部分高中生在“知識層面、表征形式和認知意識”上對函數對稱性的理解存有偏差，在數學活動上也未能較好地提升函數應用技能和數學學科核心素養. 基于此，探討教師“慧教”，促進學生“妙學”，對突破教學的重點和難點有積極意義． 本文以一堂名師復習研討課為例，從“廣度”“深度”“厚度”三個維度對函數對稱性的復習進行深入分析．

教學過程簡錄

1. 軸對稱推證

問題1 求證：y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱？圳ｆ（ｘ）＝ｆ（2ａ－ｘ）．

師：如何證明這個等價命題呢？請同學們先獨立嘗試完成證明，稍后我們再一起來研究．

（學生獨立嘗試自主探究2分鐘，但較少學生能呈現完整的證明過程.）

師：剛剛看到很少有同學能完整證明上述命題，鑒于此，現在我們共同來研究這個等價命題的證明． 要證明命題等價，即要分別證明命題的“充分性”和“必要性”．

（學生跟隨教師的思路解題，但整體反應與互動并不強烈，學生的參與度較低.）

師：用a+x替換x，得到f（a+x）=f（a－x），這也能表示函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱（簡圖如圖1所示）．

評 此對稱性推證的過程，教師共用時13分鐘，約占整堂課時長的三分之一，這是大多數中學數學教師采用的講授方式． 但是，理解此證明方法的學生或許不過半，一周后讓學生再推證，能推證的學生可能屈指可數． 究其原因是大多數教師過分注重對推證過程的演示，沒有揭示推證方法的本質，忽略了對推證方法的引導． 倘若教師在推證過程中，先引導學生去揭示推證方法的本質，這樣會在一定程度上提升學生對“本質”的認知． 抓住方法的本質，是推證命題充分性和必要性的關鍵． 這需要教師對知識的“深度”進行挖掘．

在深度教學中，教師必須超越具體知識和技能深入到思維層面，由具體的方法和策略過渡到一般性思維策略的教學與思維品質的提升，還應幫助學生學會學習，真正成為學習的主人［2］． 深度教學還要求教師幫助學生深度聯結經驗與知識，引導學生深度體驗學習過程，讓學生在情境脈絡中更好地理解知識，深度運用知識．

2. 軸對稱的應用

例1 （2018年高考全國卷Ⅱ理科數學第11題）已知f（x）是定義域為（－∞，+∞）的奇函數，滿足f（1－x）=f（1+x）． 若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（? ）

A． －50 B． 0

C． 2？搖？搖？搖？搖 D． 50

師：接下來，我們一起感受巧用“對稱性”的求解策略．大家來看看例1，根據題意，由函數f（x）是定義域（－∞，+∞）內的奇函數，我們能得到什么？

生1：f（－x）=－f（x），f（0）=0．

師：由已知條件f（1－x）=f（1+x）又能想到什么呢？

生2：用x+1替換x，能得到等式f（－x）=f（x+2）=－f（x）．

師：從f（－x）=f（x+2）=－f（x）可得到函數f（x）的周期是多少？

生3：周期T=4，結合奇函數的性質，可以算出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0．

生4：再由函數的周期性，可以算出f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0．

師：大家回答得都很好，進而可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2，選C．

評 此題要運算的項數不少，想快速解題并得到準確的答案，需要教師引導學生回顧與思考“函數的重要性質”——對稱性和周期性，這是解決該題的突破口． 在教學中，教師的引導可提升學生的元認知水平．

此題突破后不難計算，但值得深思的是，教師僅僅是“為了講題而講題”嗎？答案肯定是否定的． 與學生探究完此題之后，教師應引導學生用恒等關聯式進行總結，如f（mk+1）+f（mk+2）+…+f（mk+n）=0？搖（m∈R+，k∈Z，n∈N*），還要培養學生的應用意識和數學素養，引導學生在“做中學”中領悟恒等關聯式的含義，即m表示函數的周期，k表示函數周期的倍數，n表示周期函數的循環節數．這個恒等關聯式不僅可以運用于此題的解決，還可以運用于關于周期數的求和問題的解決． 這就是知識“厚度”的積淀．

例2 （2017年高考全國卷Ⅲ理科數學第11題）已知函數f（x）=x2－2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零點，則a=（? ）

師：有了剛才例1的思路，繼續看看這道題怎么解決，有沒有同學找到了策略技巧？

（沉默無聲，無人發言，學生一直望著講臺.）

師：可以先對二次項進行配方，得到f（x）=（x－1）2－1+a（ex-1+e-x+1），配方后發現，這與函數的對稱性有關. 通過觀察配方得到f（1+x）=x2－1+a（ex+e-x），f（1－x）=x2－1+a（e-x+ex），所以f（1+x）=f（1－x）. 現在大家能從對稱性得到什么？

師：對的，看來有些同學能通過例1的求解經驗和我所給的提示發現巧用“對稱性”就可以解決此題． 但目前有些同學還不太熟悉“巧解”，因此“一題多解”也是一種有效的方法，現在我給大家提供另外兩種解題方法：方法1，通過求導，判斷函數的極值點進行解答，這需要同學們熟悉復合函數的求導方法；方法2，把函數有零點轉化為方程有解，通過換元得到關于a的表達式（令為新函數），判斷為偶函數，利用偶函數的性質以及數形結合求出答案．

評 巧用對稱性可快速求解此題，當然，在實際應用中不可能所有學生都是熟知巧算的，因此教師在講授時要“以生為本”，“一題多解”的“廣度”延伸在復習課中應該大力踐行． 不同求解策略適應不同水平的學生，這樣拓展求解策略的“廣度”，能讓不同水平的學生得到不同的發展．

例3 若方程f（x+3）·f（1－x）=0有五個不相等的實數根，則這五根之和為（? ）

A． 10 B． 5

C． －10？搖？搖？搖？搖 D． －5

師：同學們漸漸熟悉“對稱性”這個性質了，我們再來看最后一道關于軸對稱的題. 大家能不能嘗試自行求解這道題？

（學生紛紛說出自己的解題思路）

師：看來大家現在對“函數的對稱性”有了更深層次的認知了，解題的速效和正確率都提高了． 研究完軸對稱，接下來我們研究中心對稱的相關知識．

評 此題除了選用學生提出的解題思路外，教師還可以根據實際情況，適當補充假設法、反證法等求解方法——假設法和反證法也是中學數學常用的求解方法，不同方法的拓展也是對知識“廣度”的延伸．

3. 中心對稱定理的推證

問題2 求證：y=f（x）的圖象關于（a，0）中心對稱？圳f（x）+f（2a－x）=0？圳f（a－x）+f（a+x）=0．

師：此命題的推證由同學們課后完成，思考后還是無思路的同學，可以相互討論或與我探討交流．

評 從軸對稱到中心對稱，這是知識“廣度”的延伸，拓展學生數學思維的同時，為學生的后續學習打下了基礎．

學生的數學學科核心素養是在教師的啟發和引導下，通過獨立思考或者與他人交流，最終自己“悟”出來的. 因此，在教學活動中，把握數學內容的本質、精心設計合適的教學方案就非常重要［3］．

4. 中心對稱定理的應用

師：大家初看這道題，是不是感覺和剛才的關于軸對稱的題差不多，大家先動筆算一算，看看有什么新的發現.

（學生動手演算）

師：對了，回答得很好.大家思考一下：軸對稱的“對稱性”與中心對稱的“對稱性”的區別在哪里？聯系又在哪里？

生7：軸對稱的本質是關于直線對稱，而中心對稱的本質是關于點對稱．

評 此題是關于中心對稱的問題，與軸對稱有緊密的聯系，但在知識上又各有差異． 將知識的共同點巧妙地串聯起來，能激發學生的數學思維． 在教學過程中，舉一反三的教學方法值得借鑒和學習，教師應利用循序漸進的教學原則，引導學生加深對“知識模板”的理解，對已有知識進行“深度”研究．

師：在知道中心對稱定理的基礎上，請大家看看這道題，能不能完成此題的解答？

生8：理解題意后，我找到了解題的突破口是f（－x）=－f（x+4）這個關系式. 由它可得f（x）的圖象關于點（2，0）中心對稱．

師：對，分析得很正確．接下來應該怎么考慮呢？

師：整個解題思路很清晰，也是正確的． 解決此題的關鍵是將關系式f（－x）=－f（x+4）轉化為f（2－x）=－f（x+2），進而得出函數f（x）關于點（2，0）中心對稱．

評 求解此題同樣是對中心對稱定理的應用，在前面解題經驗的基礎上，學生能較好地完成此題的求解． 解題思路環環相扣，讓看似枯燥的數學變得靈活生動．

對于此題的拓展，教師應協助學生緊扣函數的對稱性，共同探究等式的轉化，使學生明白巧妙轉化等式，得出函數的對稱性是解決此類問題的關鍵所在． 在舊問題上拓展新問題，積淀知識的“厚度”．

例6 若函數f（x）=（x2－2x）sin（x－1）+x+1在［－1，3］上的最大值為M，最小值為m，則M+m=_______．

師：課堂最后給大家留一道思考題，下節課我請同學們來分享自己的解題策略． 給大家一點提示，聯系今天我們所學的知識內容，大家在做題前應該先熟悉一下函數的重要性質．

評 此題作為課堂最后的思考題，具有一定的積極意義． 解決此題需要學生回顧目前所學的知識內容，熟悉函數性質、導數求導法則和極值問題. 此題綜合性較強，考查學生較高的基本技能與數學素養，將“廣度”“深度”與“厚度”三者有機結合起來，為培養學生的數學學科核心素養提供了良好的保障．

數學學科核心素養以數學基礎知識和基本技能為載體，培養學生數學綜合能力（外顯表現），引導學生形成數學思維與數學態度（內隱特質）［4］．

高三復習課應把握好的三個維度

1. 把握知識的“廣度”，融會貫通

從研究軸對稱到中心對稱，師生在課堂活動中展現出了一定的示范作用，教師的教學環節完整、知識覆蓋面廣，將函數“軸對稱”“中心對稱”的推證和應用緊密地聯系在一起，拓展數學教學的“廣度”，該“廣度”覆蓋教材例題、模擬測試題和高考真題．

與此同時，教師應引導學生挖掘題目的潛在內涵，從題目條件出發，采用不同角度、不同方法求解、推理證明題目的結論，意在培養學生數學思維的廣度，培養學生創新和探索的精神［5］，這樣達到“一題多解”的成效，也體現知識延伸的廣度，注重不同學生在數學上良好的發展．

2. 把握知識的“深度”，游刃有余

教師引導學生領悟“軸對稱”的本質是關于直線對稱，“中心對稱”的本質是關于點對稱，并從深層面尋找數學學習的科學方法，在教學中實現師生的互動與合作，讓學生獲得數學活動經驗． “問題解決”被認為是數學教學過程中的熱點，教師引導學生在課堂中挖掘知識的深度，既做到了對“舊知識”的“再認知”，又做到了對“新知識”的“再創造”，可謂一舉兩得．

數學知識的深度教學既是數學知識的完整性教學，又是指向知識內核的深層次教學，數學知識的深度教學是實現學生發展數學核心素養的必然要求，這能超越課堂教學的表層化，直達數學知識的邏輯方法及意義領域［6］．

3. 把握知識的“厚度”，厚積薄發

教師基于課堂教學知識，在合理容量范圍內，積淀知識的“厚度”，這能提高教學效果．不局限于學生得到正確答案，教師能適度引導學生思考與推廣過程，培養學生不同推導過程的推理能力，這些都是教學過程中值得提倡的．

高三復習課的教學任務很重，學生做了成千上萬道題，若不總結方法，數學活動經驗的形成可謂“空談”，作為教師，更重要的是在復習課上給學生提供一類試題的解決方法和技巧． 方法和技巧猶如“鑰匙”，而各類試題猶如“鎖”，雖然是“一把鑰匙開一把鎖”，但倘若能一把鑰匙開多把鎖，這樣的認知行為在數學教學過程中會格外靈動、頗具情愫．

結束語

研究高三復習課的“三度”教學——延伸知識的“廣度”，挖掘知識的“深度”，積淀知識的“厚度”，有利于在數學教學活動過程中提升學生的數學學科核心素養． 在新高考的背景下，如何助力素質教育是目前需要關注的話題．

一方面，教師要促進自己向專業化發展，樹立良好的師德形象，同時做好“言傳”和“身教”的表率作用，為教育教學添磚加瓦；另一方面，教師要培養學生自主探究的能力，運用元認知策略提高學生自主學習的效率．

把整個教學活動作為一個研究對象，通過課堂中的典型案例，深入淺出地闡述數學核心素養的新理念，高屋建瓴的教學活動為當下教育教學注入了源頭活水，教師“慧教”、學生“妙學”在教學活動中得以展開． “一石激起千層浪，百舸爭流競自由”的教育教學理念值得學習，數學“三度”教學也應該得到大力提倡．

參考文獻：

［1］ 張俊． 高三數學微專題復習的實踐與思考［J］． 教學與管理，2020（04）：55-57．

［2］ 鄭毓信． “數學深度教學”的理論與實踐［J］． 數學教育學報，2019，28（05）：24-32．

［3］ 史寧中． 高中數學課程標準修訂中的關鍵問題［J］． 數學教育學報，2018， 27（01）：8-10．

［4］ 朱立明，胡洪強，馬云鵬． 數學核心素養的理解與生成路徑——以高中數學課程為例［J］．數學教育學報，2018，27（01）：42-46．

［5］ 林廷勝． 如何開拓基礎薄弱生思維的廣度——以“一道練習題的解法”教學為例［J］． 高中數學教與學，2017 （14）：15-16．

［6］ 陳齊榮，馮傳平． 指向數學核心素養的深度教學例析［J］． 中學數學月刊，2019（11）：11-13．