余弦定理的一種面積證法

高聰云 張勇

［摘? 要］ 勾股定理是余弦定理的特例，歐幾里得采用“向外作正方形”的方法證明了勾股定理.研究者利用GeoGebra軟件進行動態探究，幫助學生加深理解.

［關鍵詞］ 勾股定理；余弦定理；GeoGebra

歐幾里得對勾股定理的證明

勾股定理被稱為千古第一定理，是培養學生幾何推理證明的典型素材［1］. 目前關于它的證明方法大約有四百余種，其中，歐幾里得的證明方法是最早的證明方法之一，他的證明思路如下：

用“向外作正方形”的方法證明余弦定理

高中階段，學生進一步認識到勾股定理是余弦定理的特例. 關于余弦定理，常見的證明方法有作高法、坐標法和向量法. 事實上，作為勾股定理的推廣，余弦定理也可以采用“向外作正方形”的方法來證明：

如圖2所示，以平行四邊形ABCD的四邊向外作正方形，設P，Q，R，S為正方形的中心，將其順次連接，得到四邊形PQRS.

（1）確定四邊形PQRS的形狀.

如圖3所示，連接AR，AS，DR，DQ，借助正方形和平行四邊形的性質，證明△RAS≌△RDQ（SAS）. 所以，RS=RQ，∠ARS=∠DRQ，∠SRQ=90°，故四邊形PQRS是正方形.

（2）代數表示四邊形PQRS的面積.

如圖4所示，連接BS，BP，CP，CQ，證明△RAS≌△RDQ≌△PCQ≌△PBS.

用GeoGebra軟件動態探究四邊形PQRS的形狀與面積

注意到四邊形PQRS的面積與平行四邊形的兩邊長及其夾角有關，借助軟件GeoGebra，從動態的角度帶領學生繼續研究四邊形PQRS的形狀與面積.

打開GeoGebra，創建滑動條m，n，選定一點A；以A為端點，作定長為m的線段，記線段的另一端點為B；以A為圓心，n為半徑作圓，在其上任選一點，記為D；連接AD，AB；分別過點B和點D作線段AD和AB的平行線，其交點記為C；連接CB，CD，得到平行四邊形ABCD；之后以各邊為邊長向外作正方形，連接四個正方形的中心，得到四邊形PQRS.？搖

如圖5所示，拖動滑動條m，n，改變平行四邊形ABCD的邊長，或者拖動點D，改變鄰邊的夾角θ，可以發現無論邊長和夾角怎樣變化，總是能得到△RAS≌△RDQ. 根據上述證明，可以得出結論：四邊形PQRS的形狀不隨平行四邊形ABCD的邊長或其夾角的大小而改變，總是正方形.

勾股定理是余弦定理的特例，類比勾股定理的面積證法，發現同樣可以通過“向外作正方形”的方法來證明余弦定理，進一步，利用軟件GeoGebra進行動態探究，可以從直觀上幫助學生加深理解，體會數學知識間的緊密聯系.

參考文獻：

［1］ 龐月，李春蘭. 我國初中幾何教科書中勾股定理證明方法編排之變遷（1951—2000）［J］. 數學通報，2018， 57（03）：9-15+61.

［2］ 歐幾里得. 歐幾里得·幾何原本［M］. 蘭紀正，朱恩寬，譯. 西安：陜西科學技術出版社，2003：41-42.