分析幾何圖形的特征，探索解決問題的思路

張志峰

［摘? 要］ 2023年全國高考數學新課標Ⅰ卷第16題是一道圓錐曲線試題，研究者重點分析其幾何特征，探索解決思路，并給出教學建議，以期通過優化教學策略，充分利用教材例題、習題和高考真題來提高學生的解題能力，培養學生的數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 幾何特征；解題思路；教學建議

題目呈現

試題分析

本題涉及的課標要求是：能夠從多種角度理解向量的概念和運算法則，掌握向量基本定理；能夠用向量方法解決簡單的平面幾何問題，知道數學運算與邏輯推理的關系；了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程及簡單的幾何性質.

借助三維細目表，即從“考查載體”“考查內容”“考查要求”對本題進行分析（見表1）.

思路探索

本題涉及解析幾何內容，處于填空壓軸題的位置，與往年高考一樣，沒有給幾何圖形，要求學生理解試題情境中的幾何特征及其解釋，運用數形結合思想畫出相應的幾何圖形，尋找解題思路，選擇合理簡潔的運算途徑．

1. 分析關鍵信息

2. 畫出幾何圖形

3. 分析幾何特征

4. 探索解題思路

點評 上述兩種解題思路都是基于圖形幾何特征，利用解三角形的知識求解的.

點評 思路3體現了平面向量的工具性作用.

平面向量與解析幾何都是高中數學的教學重點，兩者存在很多的內在聯系，是數形結合的產物. 平面向量與解析幾何的結合，還有重要的一點，就是坐標表示，因此本題可以通過設點，將向量坐標化，利用方程思想求解.

教學建議

1. 解析幾何的教學定位

解析幾何是數學發展過程中的標志性成果，是微積分創立的基礎，而從數學內部來看，則出于對數學方法的追求. 因此，解題教學中應以圓錐曲線與方程為載體，掌握坐標法這一工具去解決一些幾何、代數問題，注意代數運算與幾何直觀相互為用. 引導學生先用平面幾何的眼光觀察相應幾何圖形的特征，認識確定幾何圖形的要素，再用坐標法解決問題，將數形結合思想、坐標思想貫穿教學始終.

2. 優化解題思路，簡化運算

學生在學習解析幾何的過程中，常常因為不能順利完成代數運算而失敗.為了讓學生更好地把握坐標法的基本思想，優化運算，建議用幾何眼光觀察、分析幾何圖形的要素及基本關系，再用代數語言進行表達，借助圖形的幾何特征及圖形間的關系優化解題思路，選擇合理簡捷的運算途徑.