一道市質檢題的解法探究

黃清波

(福建省南安市國光中學)

三角形問題在各類考試中備受青睞,命題方式靈活多樣,試題內容活潑、新穎,是一個穩定的高頻考點.解決這類問題的基本方法:三角法、向量法、坐標法和平幾法.本文以泉州市2024屆高中畢業班質量監測第19題為例展開探究,談談對各種方法的幾點理解,希望對師生今后學習能夠產生一定啟示.

一、題目展示

△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足ccosB+(b+2a)cosC=0.

(1)求C;

【分析】本題主要考查解三角形、三角恒等變換等基礎知識;考查推理論證、運算求解等能力,考查化歸轉化、數形結合、函數與方程等思想,體現綜合性與應用性,導向對發展直觀想象、邏輯推理及數學運算等核心素養的關注.第1問5分,市平均分3.21分,第2問7分,市平均分1.21分,學生得分率較低.本題蘊含著豐富的數學思想方法,耐人尋味.

二、解法探究

(一)三角法

【小結】“三角法”是利用正弦定理、余弦定理、三角形內角和定理、三角形面積公式,適時、適度運用“角化邊”或“邊化角”,同時結合三角函數的性質、三角恒等變換公式、同角三角函數基本關系式等進行化簡與求值．此法是解決三角形問題的常用解法.

(二)向量法

【小結】“向量法”是指非坐標向量法,與坐標法相比,它無需要建立坐標系,且運算簡捷、可操作性強,更能體現向量的魅力等優點.新教材把向量和解三角形結合起來,突出了它在解三角形中的重要作用.

(三)坐標法

如圖,以C為原點,CB所在直線為x軸建系.

【小結】“坐標法”根據三角形的結構特征,合理構建平面直角坐標系,找出三角形相應頂點的坐標,便能快捷解得三角形的各個要素.解題思路明確、清晰,解題過程簡潔.此法將數與形完美地結合起來,降低了思維難度,解題有一定的規律性,便于學生掌握.

(四)平面幾何法

【思路四】過D點作DE∥AC交CB于點E.易得△CDE為等邊三角形,另由三角形相似對應邊成比例,求出a,b,進而求出面積.

解法4：過D點作DE∥AC交CB于點E.

【小結】“平幾法”是以邏輯推理作為工具解決問題,解題過程中經常要引入輔助線和回憶大量的幾何定理公理,對學生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高,運用得好,往往可以巧妙地避開復雜的運算,簡化解題過程.

三、試題鏈接

(1)求bc;

(2)若b2+c2=8,求b,c.

過A作AE⊥BC,垂足為E,如圖所示:

以上幾個題未給出多種解法,留給讀者聯想借鑒完成.

總之,解三角形的“多法”的準確定位是并舉!即不宜人為地、憑主觀劃分它們的優劣,而應具體問題具體分析.哪怕受教學時間的限制,在課堂上盡可“擇其善者而從之”,但對另外的方法應稍作提示引導,讓學生在課下嘗試、討論,并對“多法”進行比較.這對學生能力的提高大有裨益.