含逆變型分布式電源的不平衡配電網(wǎng)快速短路電流計(jì)算

李瀟雨，何晉，李智軒，孔玲玲，周石金

（1.云南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，昆明 650504；2.西門(mén)子變壓器（武漢）有限公司，武漢 430415）

以光伏、風(fēng)能為代表的分布式發(fā)電DG（distributed generator）接入電網(wǎng)使得電網(wǎng)潮流和短路電流分布發(fā)生改變[1]。DG 出力的隨機(jī)性和間接性給電力系統(tǒng)保護(hù)帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)[2]。由于變流器控制的四象限特性，采用變流器接口的逆變器型分布電源IIDG（inverter-interfaced distributed generator）被廣泛應(yīng)用。不同于傳統(tǒng)同步發(fā)電機(jī)，IIDG故障輸出特性受其變流器控制策略影響，且輸出電流大小受限于變流器極限電流限值[3]，使得傳統(tǒng)短路電流計(jì)算方法不再適用，因此需要對(duì)含IIDG 電網(wǎng)的短路計(jì)算方法深入研究。

目前，已有許多學(xué)者對(duì)IIDG 故障輸出特性和短路電流計(jì)算方法開(kāi)展了研究。文獻(xiàn)[4-5]采用抑制負(fù)序電流控制的IIDG 等效為正序受控電流源，在短路電流分析過(guò)程中IIDG 僅出現(xiàn)于正序網(wǎng)絡(luò)中。文獻(xiàn)[6]采用相同的IIDG 等值模型，分析了IIDG接入前后系統(tǒng)短路電流的變化，指出了IIDG接入將導(dǎo)致故障邊界條件發(fā)生變化，但需要預(yù)設(shè)IIDG 的輸出電流僅包含正序分量。根據(jù)并網(wǎng)規(guī)程[7]，不對(duì)稱故障時(shí)，IIDG應(yīng)向電網(wǎng)注入負(fù)序無(wú)功電流以減小三相電壓不平衡度。文獻(xiàn)[8-9]提出了正負(fù)序電流解耦控制，可以有效抑制不對(duì)稱故障情況下IIDG 輸出功率和直流母線電壓的振蕩。文獻(xiàn)[10-11]考慮了IIDG 輸出電流包含負(fù)序分量的情況，建立了IIDG 的正負(fù)序等效模型，同時(shí)進(jìn)一步分析了IIDG接入容量及變流器約束對(duì)IIDG 輸出短路電流的影響。考慮配電網(wǎng)存在不平衡的情況，文獻(xiàn)[12-13]提出了基于相分量法的短路電流計(jì)算方法，但基于相分量法的短路電流計(jì)算過(guò)程較為繁瑣，不利于短路電流的快速求解。為此，文獻(xiàn)[14]提出了通過(guò)引入序補(bǔ)償電流建立三相不平衡系統(tǒng)的序解耦模型，但當(dāng)系統(tǒng)存在單相或兩相線路時(shí)，僅引入補(bǔ)償電流無(wú)法建立系統(tǒng)序解耦模型。文獻(xiàn)[15-16]提出了廣義Fortescue變換概念，通過(guò)兩相和三相線路變換至相同階數(shù)的Fortescue 域來(lái)建立不平衡配電網(wǎng)的序等效模型，但文中未能考慮IIDG接入的情況。

為實(shí)現(xiàn)含IIDG 電網(wǎng)的快速短路電流計(jì)算，文獻(xiàn)[17]提出了基于短路點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)局部迭代的短路電流計(jì)算方法。文獻(xiàn)[18]基于疊加定理將系統(tǒng)分解為正常分量網(wǎng)絡(luò)和故障分量網(wǎng)絡(luò)，在此基礎(chǔ)上通過(guò)引入前推回代法實(shí)現(xiàn)了短路電流的快速計(jì)算。文獻(xiàn)[19-20]基于同步發(fā)電機(jī)的運(yùn)算曲線法，提出了雙饋感應(yīng)電機(jī)的短路電流運(yùn)算曲面法，但由于IIDG 短路電流受并網(wǎng)點(diǎn)電壓的影響，運(yùn)算曲面法是否可用于IIDG的短路電流計(jì)算還有待驗(yàn)證。文獻(xiàn)[21]提出了將機(jī)器學(xué)習(xí)算法引入IIDG 接入配電網(wǎng)的短路電流計(jì)算，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)訓(xùn)練學(xué)習(xí)算法對(duì)短路電流進(jìn)行預(yù)測(cè)，由于前期訓(xùn)練為離線訓(xùn)練，因此可實(shí)現(xiàn)快速在線預(yù)測(cè)短路電流，但針對(duì)不同電網(wǎng)情況需要對(duì)算法進(jìn)行重新訓(xùn)練。

相較于相分量法，采用基于序分量的短路計(jì)算方法可有效減小短路電流計(jì)算的復(fù)雜度。但不平衡配電網(wǎng)中包含的兩相、單相線路及對(duì)應(yīng)線路負(fù)載的存在，限制了基于序分量法短路電流計(jì)算方法的應(yīng)用。為此，本文通過(guò)引入虛擬節(jié)點(diǎn)和虛擬線路，同時(shí)結(jié)合廣義Fortescue 變換建立不平衡配電網(wǎng)的序解耦模型。通過(guò)分析IIDG 的故障穿越控制，推導(dǎo)IIDG 的序等效受控電流源模型，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出短路電流迭代計(jì)算方法。考慮到迭代計(jì)算過(guò)程耗時(shí)主要集中在求解高維稀疏方程組，因此本文引入預(yù)條件處理的廣義極小殘差GMRES（generalized minimal residual）算法求解高維稀疏方程組，可有效提升計(jì)算速度。最后，通過(guò)多個(gè)測(cè)試系統(tǒng)驗(yàn)證了所提方法的正確性和可行性。

1 IIDG 故障穿越控制及其等效模型

當(dāng)電網(wǎng)側(cè)發(fā)生故障時(shí)，IIDG 通常將從PQ控制模式切換至故障穿越模式，且故障輸出特性受其所采用的故障穿越控制的影響。考慮到目前商用IIDG多采用三線制，故在本文分析中不考慮零序分量。

正常運(yùn)行時(shí)，IIDG 采用PQ控制模式向電網(wǎng)注入恒定有功和無(wú)功功率。根據(jù)瞬時(shí)功率理論，在dq坐標(biāo)系下IIDG瞬時(shí)有功和無(wú)功功率的計(jì)算公式為

式中：P和Q分別為IIDG 瞬時(shí)有功和無(wú)功功率；vd、vq、id、iq分別為dq坐標(biāo)系下IIDG 公共耦合點(diǎn)PCC（point of common coupling）電壓和電流的d軸和q軸分量。在電網(wǎng)側(cè)發(fā)生不對(duì)稱故障時(shí)，IIDG 輸出電壓和電流相量將包含負(fù)序分量，此時(shí)IIDG 電流參考值和輸出功率之間的關(guān)系可表示為

式中：上標(biāo)+和-分別表示正序和負(fù)序分量；下標(biāo)ref表示參考值；下標(biāo)c 和s 分別表示cos 分量和sin 分量；分別為有功功率振蕩的余弦和正弦分量；分別為無(wú)功功率振蕩的余弦和正弦分量；Pref和Qref分別為有功和無(wú)功功率的參考值。

針對(duì)不同控制目標(biāo)，例如消除有功功率輸出振蕩、消除無(wú)功功率輸出振蕩、平衡三相電流輸出，在dq坐標(biāo)系下IIDG正負(fù)序電流參考值[22]可表示為

式中，K為控制參數(shù)，取值范圍為[-1，1]。通過(guò)K取不同的數(shù)值，可實(shí)現(xiàn)不同的控制目標(biāo)，即當(dāng)K=1時(shí)可實(shí)現(xiàn)消除有功功率輸出振蕩，當(dāng)K=-1時(shí)可實(shí)現(xiàn)消除無(wú)功功率振蕩，當(dāng)K=0時(shí)可實(shí)現(xiàn)平衡三相電流輸出。

根據(jù)并網(wǎng)規(guī)程要求[7]，DG在電網(wǎng)故障期間應(yīng)優(yōu)先向電網(wǎng)注入無(wú)功功率支撐電網(wǎng)電壓，此時(shí)IIDG無(wú)功功率參考值可表示為

式中：S為變流器額定容量；Vpu為PCC 處電壓的標(biāo)幺值。為維持系統(tǒng)有功功率平衡，IIDG應(yīng)將剩余容量以有功功率形式注入電網(wǎng)，同時(shí)確保變流器輸出電流大小不超出變流器限值，因此故障后IIDG 可輸出最大有功功率Pmax可表示為

式中：Vnom為PCC處額定電壓幅值；V+和V-分別為PCC處正序、負(fù)序電壓幅值。考慮到故障時(shí)IIDG輸出無(wú)功功率大小受電壓跌落程度影響，由式（5）可知，在電壓跌落程度較為嚴(yán)重時(shí)可能出現(xiàn)Qref＞S的情況，此時(shí)設(shè)定Qref=NP，Pmax=0。

假設(shè)正常運(yùn)行時(shí)IIDG 輸出的有功功率為Pn，故障時(shí)IIDG有功功率參考值可修正為

將式（5）和式（8）代入式（3）可得到dq坐標(biāo)系下IIDG電流參考值。假設(shè)IIDG電流控制環(huán)控可使得IIDG 輸出電流準(zhǔn)確跟蹤電流參考值，此時(shí)IIDG 輸出電流的正負(fù)序分量可表示為

式中：θ+、θ-分別為PCC 處正序、負(fù)序電壓分量的相位；分別為dq坐標(biāo)系下正序、負(fù)序電流dq軸分量的參考值。

結(jié)合式（3）、式（5）和式（10）可以分析得出，IIDG 的故障電流大小主要與參考功率Pref和Qref、控制參數(shù)及故障發(fā)生的位置、故障類(lèi)型有關(guān)。由于故障的位置和類(lèi)型決定了PCC處電壓大小，故可認(rèn)為故障穩(wěn)態(tài)時(shí)，IIDG 是受Pref、Qref、控制參數(shù)和PCC 處電壓共同影響的受控電流源。綜上可得故障前后IIDG等效模型如圖1所示。

圖1 IIDG 故障前后等效模型Fig.1 IIDG equivalent model under normal and faulty conditions

2 不平衡配電網(wǎng)序?qū)Ъ{矩陣的建立

為方便分析，以一個(gè)簡(jiǎn)單不平衡配電網(wǎng)為例進(jìn)行討論。4 節(jié)點(diǎn)不平衡配電網(wǎng)模型如圖2 所示，系統(tǒng)包含4個(gè)節(jié)點(diǎn)及3種不同類(lèi)型的線路和負(fù)載。考慮到配電網(wǎng)線路長(zhǎng)度通常遠(yuǎn)小于輸電線長(zhǎng)度，故下文分析中忽略了線路對(duì)地電容的影響。同時(shí)，本節(jié)將負(fù)載等效為恒定阻抗元件，后文再進(jìn)一步考慮負(fù)載類(lèi)型的影響。

圖2 4 節(jié)點(diǎn)不平衡配電網(wǎng)模型Fig.2 Model of four-node unbalanced distribution network

2.1 三相線路和負(fù)載

根據(jù)圖2所示結(jié)構(gòu)，Bus1-Bus2之間的三相線路及接入Bus處的三相負(fù)載對(duì)應(yīng)的相導(dǎo)納矩陣可表示為

式中：上標(biāo)數(shù)字表示節(jié)點(diǎn)號(hào)；下標(biāo)a、b、c 表示A 相、B 相、C 相。通過(guò)3 階Fortescue 變換（3 階Fortescue變換即對(duì)應(yīng)對(duì)稱分量變換）[15-16]，可得到式（11）對(duì)應(yīng)在3階Fortescue域下的序?qū)Ъ{矩陣為

式中：下標(biāo)“0，1，2”分別表示零序、正序和負(fù)序；下標(biāo)F3表示3 階Fortescue 域。當(dāng)線路和負(fù)載為三相對(duì)稱結(jié)構(gòu)時(shí)，各序分量之間不存在耦合，其對(duì)應(yīng)序?qū)Ъ{矩陣為對(duì)角矩陣；但當(dāng)結(jié)構(gòu)為非對(duì)稱三相結(jié)構(gòu)時(shí)，其對(duì)應(yīng)序?qū)Ъ{矩陣是1個(gè)3×3 滿矩陣。

2.2 兩相線路和負(fù)載

對(duì)于Bus2-Bus3之間的兩相線路，可通過(guò)增加虛擬C相線路和Bus3處增加C相虛擬節(jié)點(diǎn)，將兩相線路等效為三相線路，如圖3所示。

圖3 引入虛擬節(jié)點(diǎn)和虛擬線路的4 節(jié)點(diǎn)不平衡配電網(wǎng)Fig.3 Four-node unbalanced distribution network with dummy nodes and dummy lines

根據(jù)圖3可得到兩相線路的相導(dǎo)納矩陣為

由式（13）可知，兩相線路在3 階Fortescue 域下的序?qū)Ъ{矩陣與式（11）類(lèi)似，可表示

同樣，對(duì)于接入Bus3處的兩相負(fù)載，根據(jù)圖3所示結(jié)構(gòu)可得到其對(duì)應(yīng)相導(dǎo)納矩陣為

通過(guò)2階Fortescue變換可得到兩相負(fù)載在2階Fortescue域下的序?qū)Ъ{矩陣為

由式（15）和式（17）可知，兩相線路和兩相負(fù)載的序?qū)Ъ{矩陣階數(shù)不相同，但最終建立系統(tǒng)序?qū)Ъ{矩陣需要系統(tǒng)中所有元件的序?qū)Ъ{矩陣應(yīng)具備相同的階數(shù)。因此，這里需要將兩相負(fù)載的2階序?qū)Ъ{矩陣映射至3階Fortescue域中。

式（17）所示的2 階序?qū)Ъ{矩陣可通過(guò)2 階至3階Fortescue映射矩陣映射至3階Fortescue域中，即

不同相序的兩相負(fù)載的映射矩陣如表1 所示，其中a3=ej2π/3[15]。

表1 不同負(fù)載相序下和矩陣Tab.1 andmatrices for different types of load phase

表1 不同負(fù)載相序下和矩陣Tab.1 andmatrices for different types of load phase

2.3 單相線路和負(fù)載

對(duì)于Bus2-Bus4之間的單相線路，可直接延用兩相線路處理方法，通過(guò)增加AB 兩相線路和Bus4處AB兩相虛擬節(jié)點(diǎn)，將單相線路還原為三相線路，如圖3所示。因此，單相線路相導(dǎo)納矩陣可表示為

同樣，對(duì)于接入Bus4處的單相負(fù)載，其對(duì)應(yīng)的相導(dǎo)納矩陣可表示為

對(duì)于單相負(fù)載，通過(guò)1 階Fortescue 變換可得到對(duì)應(yīng)的在1 階Fortescue 域下的序?qū)Ъ{矩陣為同理，在此需要將單相負(fù)載的1 階序?qū)Ъ{矩陣映射3階Fortescue域中，即

表2 不同負(fù)載相序下和 矩陣Tab.2 and matrices for different types of load phase

表2 不同負(fù)載相序下和 矩陣Tab.2 and matrices for different types of load phase

根據(jù)以上分析，可建立4 節(jié)點(diǎn)不平衡配電網(wǎng)的系統(tǒng)序?qū)Ъ{矩陣為

綜上所述，本節(jié)首先通過(guò)引入虛擬節(jié)點(diǎn)和虛擬線路將不平衡配電網(wǎng)線路等效為三相線路，然后通過(guò)廣義Fortescue變換獲取系統(tǒng)各元件的序阻抗值，最后建立了不平衡配電網(wǎng)的系統(tǒng)序?qū)Ъ{矩陣。雖然本節(jié)中僅以4 節(jié)點(diǎn)不平衡配電網(wǎng)系統(tǒng)為例進(jìn)行分析，但所提方法可推廣至任意節(jié)點(diǎn)數(shù)的不平衡電網(wǎng)系統(tǒng)。

3 含IIDG 不平衡配電網(wǎng)短路電流計(jì)算方法

根據(jù)電路定理，如果已知網(wǎng)絡(luò)中所有電源的輸出電流及系統(tǒng)短路電流，通過(guò)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓方程即可求出網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)的電壓。由于IIDG 輸出電流受其接入節(jié)點(diǎn)電壓的影響，所以無(wú)法一次性求解系統(tǒng)短路電流。目前，多數(shù)研究采用迭代算法進(jìn)行短路電流計(jì)算[10-12]。根據(jù)疊加定理，可將任意系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)分解為正常分量網(wǎng)絡(luò)和故障分量網(wǎng)絡(luò)的疊加，其中故障分量網(wǎng)絡(luò)僅保留短路電流從短路節(jié)點(diǎn)注入網(wǎng)絡(luò)，IIDG 輸出短路電流，系統(tǒng)電源則注入正常分量網(wǎng)絡(luò)。

假設(shè)系統(tǒng)共包含n個(gè)節(jié)點(diǎn)，若干臺(tái)IIDG分別接入系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)k～節(jié)點(diǎn)j，節(jié)點(diǎn)f處發(fā)生短路故障，可將系統(tǒng)分解為如圖4所示的等效網(wǎng)絡(luò)。

圖4 系統(tǒng)故障時(shí)正常分量網(wǎng)絡(luò)和故障分量網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Normal-and faulty-component network under system fault

對(duì)于正常分量網(wǎng)絡(luò)，其序節(jié)點(diǎn)電壓方程可表示為

同理，對(duì)于故障分量網(wǎng)絡(luò)，其序節(jié)點(diǎn)電壓方程可表示為

式中：I3×3為3×3 單位矩陣；為故障節(jié)點(diǎn)在第i次迭代的序電壓；為3 階Fortescue 變換矩陣；CI3φ和CV3φ為故障邊界條件矩陣，具體取值可見(jiàn)文獻(xiàn)[14]；Zeq,f為從故障節(jié)點(diǎn)f向網(wǎng)絡(luò)看去的等效序阻抗矩陣，其計(jì)算公式[14]為

式中，zff為故障節(jié)點(diǎn)等效序?qū)Ъ{矩陣的阻抗，下標(biāo)數(shù)字相同表示為該序自阻抗，下標(biāo)數(shù)字不同表示各序之間互阻抗。

由式（24）和式（25）分別求出正常分量網(wǎng)絡(luò)和故障分量網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)電壓后，根據(jù)疊加定理可得到故障時(shí)系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)電壓為

計(jì)算出系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)故障電壓后，根據(jù)式（3）～（10）修正IIDG 輸出電流，同時(shí)對(duì)式（24）所示的序電流矩陣進(jìn)行新一輪迭代計(jì)算，直到前后兩次迭代計(jì)算所得節(jié)點(diǎn)序電壓滿足收斂條件，則計(jì)算停止。該收斂條件可表示為

式中，ε為常數(shù)，本文取ε=1×10-6。需要注意的是，系統(tǒng)電源和IIDG 的輸出電流迭代初始值設(shè)定為其正常運(yùn)行時(shí)的輸出電流，可由初始潮流計(jì)算或時(shí)域仿真獲得。

為了獲得更加精確的短路電流計(jì)算結(jié)果，繼續(xù)將負(fù)載等效為恒定阻抗是不合理的，因此本文考慮負(fù)載為恒功率型負(fù)載和電壓依賴型負(fù)載兩種類(lèi)型，其ZIP負(fù)荷模型[13]可表示為

式中：V為負(fù)載接入節(jié)點(diǎn)電壓；V0、P0和Q0分別為負(fù)載的額定電壓、額定有功和額定無(wú)功；F和F′為分?jǐn)?shù)常數(shù)，取值詳見(jiàn)文獻(xiàn)[13]；下標(biāo)Z、I和P分別表示恒定阻抗、恒定電流和恒定功率作用。

因此，在迭代中需要不斷更新負(fù)載的等效阻抗值，每次迭代中負(fù)載等效阻抗Zload,i可表示為

式中，下標(biāo)i表示第i個(gè)阻抗。

綜上所述，本文所提的短路電流計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 短路電流迭代計(jì)算流程Fig.5 Flow chart of iterative calculation of short-circuit current

4 短路電流快速計(jì)算的GMRES 算法

分析圖5 的迭代計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)迭代計(jì)算過(guò)程中需要多次求解式（24）、式（25）和式（27）。進(jìn)一步觀察式（24）、式（25）和式（27）可以發(fā)現(xiàn)，可將上述公式視為稀疏線性方程組Ax=b，其中A對(duì)應(yīng)系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣YF3，x和b分別對(duì)應(yīng)序電壓矩陣和序電流矩陣。考慮到配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)的序?qū)Ъ{矩陣為一個(gè)高維稀疏矩陣，因此可采用LU分解等直接法來(lái)求解(YF3)-1會(huì)需要較多的計(jì)算成本和計(jì)算時(shí)間[24]。而迭代法中Krylov子空間算法常被用來(lái)求解大規(guī)模稀疏方程組[24-25]。根據(jù)系數(shù)矩陣A的特點(diǎn)，可選擇不同的Krylov子空間算法，例如針對(duì)對(duì)稱問(wèn)題的共軛梯度CG（conjugate gradient）法，針對(duì)非對(duì)稱問(wèn)題的GMRES 算法、雙共軛梯度BCG（bi-conjugate gradient）法、共軛梯度平方CGS（conjugate gradient squared）法[26]。在文獻(xiàn)[26]中詳細(xì)對(duì)比了上述4 種迭代算法，指出了上述迭代算法相較直接法更加適合求解高維稀疏線性方程，其中GMRES 算法擁有更好的收斂性和更快的計(jì)算速度。為此，本文選取GMRES算法來(lái)求解系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓方法。

對(duì)于任意n維非線性方程組Ax=b，其中A為非奇異矩陣，A∈Rn×n，x∈Rn，b∈Rn。GMRES 算法通過(guò)求取殘差量rm=b-Axm的最小矢量來(lái)逼近線性方程組的精確解，其中xm∈x0+Km，Km為m維Krylov 子空間，x0為初始猜想解。GMRES 算法原理如下[23-25]。

定義x0為初始猜想解，可得對(duì)應(yīng)的殘差向量為r0=b-Ax0，進(jìn)一步可得r0生成的Krylov子空間為

式中，上標(biāo)m表示Krylov子空間維數(shù)。

通常Arnold 過(guò)程被用來(lái)求解Krylov 子空間Km的標(biāo)準(zhǔn)正交基，故經(jīng)過(guò)Arnold 過(guò)程可獲得Km的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，基于施密特正交化的Arnoldi 過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[24，27]。

在完成k次Arnoldi過(guò)程后可得到一組n×（k+1）維的標(biāo)準(zhǔn)正交基Wk+1，以及1 個(gè)（k+1）×k維的上Hessenberg矩陣，且滿足如下關(guān)系：

在仿射空間x0+Km中，任意向量可表示

式中：y為m×1維向量；Wm為m次Arnoldi過(guò)程得到的標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此，求解最小殘量問(wèn)題可定義為

結(jié)合式（34）和式（36）可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

式中：β=||r0||；e1為標(biāo)準(zhǔn)基的第1 個(gè)矢量，e1∈Rm+1e1=(1,0,0,…,0) 。因此，求解使殘差量rm=b-Axm范數(shù)最小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解范數(shù)的最小二乘問(wèn)題。最終GMRES算法求得方程組近似解xm滿足以下關(guān)系式：

對(duì)于上述求解上Hessenber 矩陣的最小二乘問(wèn)題，文獻(xiàn)[28]指出可使用Given 旋轉(zhuǎn)將分解為上三角矩陣，具體分解步驟詳見(jiàn)文獻(xiàn)[24]。

進(jìn)一步將上三角矩陣代入式（37），則式（37）可修正為

式中：Rm為矩陣的前m行、前m列子陣；gm為矩陣的前m行；γm為矩陣的行分塊子矩陣。因?yàn)镽m為非奇異矩陣，所以當(dāng)時(shí)，殘差范數(shù)最小，此時(shí)‖rm‖2=|γm+1| 。可見(jiàn)，當(dāng)|γm+1|=0 時(shí)，算法可取得精確解，但實(shí)際實(shí)現(xiàn)較為困難，因此本文設(shè)定若 |γm+1| 小于預(yù)設(shè)收斂值，則算法停止。

由于上述計(jì)算舍入了誤差，GMRES 算法迭代收斂性和收斂速度將依賴系數(shù)矩陣A的條件數(shù)cond（A）和特征值分布。為了改善系數(shù)矩陣A的條件數(shù)和特征值分布，通常對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)變化，該過(guò)程被稱為預(yù)條件處理[28]。若預(yù)條件矩陣M直接選取A的逆矩陣，則處理后系數(shù)矩陣條件數(shù)等于1，特征值≡1，此為最理想的預(yù)條件處理。但實(shí)際中上述理想情況不可能實(shí)現(xiàn)，因此本文設(shè)定若預(yù)條件處理矩陣M能直接選取A-1，則無(wú)需采用迭代法計(jì)算方程組。

預(yù)條件子可通過(guò)如下公式對(duì)線性方程組Ax=b進(jìn)行處理：

式中，M=M1M2，M1和M2表示預(yù)條件子。若M1=I則得到右條件子，此時(shí)殘量；若M2=I則得到左條件子，此時(shí)殘量

對(duì)于預(yù)條件子的選取，目前主要有3 種方法：①直接抽取系數(shù)矩陣A的對(duì)角元素作為預(yù)條件子陣，即M=diag(A) ；②高斯賽德?tīng)栴A(yù)條件子，即M=Low(A)；③矩陣A的不完全LU分解，即M=LU。考慮到本文中系數(shù)矩陣A為系統(tǒng)序節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，其具有主對(duì)角元素占優(yōu)的特點(diǎn)，因此本文選取直接抽取序節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣對(duì)角線元素作為預(yù)條件子，同時(shí)取左預(yù)條件子。引入預(yù)條件處理的GMRES算法計(jì)算流程如圖6所示。

圖6 引入預(yù)條件處理的GMRES 算法計(jì)算流程Fig.6 Computational flowchart of the GMRES algorithm with the introduction of preconditioning processing

需要注意的是，本文采用的重開(kāi)始GMRES 算法，即將x初值置為xm，然后重啟算法，而不是采用增加Krylov 子空間維數(shù)并重復(fù)算法的方法。基于上述分析可知，GMRES 算法可以方便地嵌入圖5所示的短路電流計(jì)算流程中，從而加快整體的計(jì)算速度。

5 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提短路電流計(jì)算方法的正確性和可行性，本節(jié)設(shè)置了基于IEEE13、IEEE123 節(jié)點(diǎn)及多個(gè)大型合成節(jié)點(diǎn)搭建的測(cè)試系統(tǒng)，以對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。在PSCAD 中搭建測(cè)試系統(tǒng)，仿真結(jié)果作為參考值，在Matlab中編寫(xiě)短路電流計(jì)算程序。所使用的軟件為PSCAD4.6和Matlab2019b，PC處理器為Intel Core i5-1135G7 2.42 GHz，16 GB RAM。

5.1 13 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)

圖7 為基于IEEE13 節(jié)點(diǎn)[29]搭建的含IIDG 的13節(jié)點(diǎn)模型，修改了IEEE13 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中部分線路參數(shù)。單臺(tái)IIDG 系統(tǒng)數(shù)據(jù)如表3 所示，額定容量為500 kV·A，采用理想變壓器并入系統(tǒng)運(yùn)行，正常運(yùn)行時(shí)IIDG 以單位功率因數(shù)運(yùn)行，故障穿越控制采用文獻(xiàn)[10]中所提的控制方法。

表3 IIDG 系統(tǒng)參數(shù)Tab.3 Parameters of IIDG system

圖7 含IIDG 的13 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)示意Fig.7 Schematic of 13-node test system with IIDGs

設(shè)置母線652 處發(fā)生A 相接地故障(f1)，故障過(guò)渡電阻為0.01 Ω；母線671處發(fā)生BC兩相相間故障和BC 兩相接地故障(f2)，故障過(guò)渡電阻為0.01 Ω。3 種故障情況下的PSCAD 仿真結(jié)果、直接法計(jì)算結(jié)果（即直接求解(YF3)-1）及GMRES 算法計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表4～表6所示。考慮到篇幅限制，表4～表6中僅展示了故障相的節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算結(jié)果，由于13節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為不對(duì)稱系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)645、646、611無(wú)A相，節(jié)點(diǎn)684、652、611 無(wú)B 相，節(jié)點(diǎn)652 無(wú)C 相，因此沒(méi)有數(shù)據(jù)記錄，以“—”替代。

表4 A 相接地故障情況下A 相節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of calculation results of phase-A node voltage under phase-A grounding fault

表5 BC 相間故障情況下B 相節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.5 Comparison of calculation results of phase-B node voltage under phase-to-phase fault between phases B and C

表6 BC 兩相接地故障情況下C 相節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of calculation results of phase-C node voltage under two-phase grounding fault in phases B and C

對(duì)比表4～表6的計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，直接法和GMRES 算法的計(jì)算結(jié)果基本相同，但相較于直接法，GMRES 算法的誤差近似為0，存在誤差的原因是GMRES 算法在迭代中舍入了誤差，本文中GMRES 算法的計(jì)算迭代誤差設(shè)置為1×10-4。進(jìn)一步對(duì)比表4～表6中GMRES算法和PSCAD計(jì)算結(jié)果可知，節(jié)點(diǎn)電壓有效值最大相對(duì)誤差發(fā)生在BC 相間故障情況下的節(jié)點(diǎn)680處，為0.079 kV；最大相對(duì)相角誤差發(fā)生在BC相間故障情況下的節(jié)點(diǎn)633處，為1.68°。由此可見(jiàn)，本文所提短路電流計(jì)算方法具有較高的計(jì)算準(zhǔn)確度。

5.2 123 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)

為驗(yàn)證GMRES算法比直接法在面對(duì)大型網(wǎng)絡(luò)擁有更快的計(jì)算速度，搭建含IIDG的123節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)和多個(gè)大型合成節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)對(duì)兩種方法的計(jì)算速度進(jìn)行對(duì)比。

圖8 為基于IEEE123 節(jié)點(diǎn)[29]搭建的含IIDG 的123 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)。設(shè)置系統(tǒng)共接入4 臺(tái)IIDG 機(jī)組，正常運(yùn)行時(shí)4 臺(tái)IIDG 皆以單位功率因數(shù)運(yùn)行，采用理想變壓器并入系統(tǒng)運(yùn)行，IIDG系統(tǒng)參數(shù)依舊采用表3所示參數(shù)，IIDG額定容量均為500 kV·A。

圖8 含IIDG 的123 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)示意Fig.8 Schematic of 123-node test system with IIDGs

設(shè)置3種故障情況：①節(jié)點(diǎn)37處發(fā)生A相接地故障（f1），故障過(guò)渡電阻為0.001 Ω；②節(jié)點(diǎn)52 處發(fā)生BC相間故障（f2），故障過(guò)渡電阻為0.001 Ω；③節(jié)點(diǎn)52 處發(fā)生BC 兩相接地故障（f3），故障過(guò)渡電阻為0.001 Ω。同時(shí)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)250、54、450、151、300處開(kāi)關(guān)保持?jǐn)嚅_(kāi)，其余開(kāi)關(guān)保持閉合。

3種故障情況下PSCAD 仿真結(jié)果、直接法計(jì)算結(jié)果、GMRES 算法計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖9～圖11 所示，本文僅展示了故障相節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算結(jié)果。由于123 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)部分節(jié)點(diǎn)為單相或兩相節(jié)點(diǎn)，因此圖9～圖11中節(jié)點(diǎn)橫坐標(biāo)有所差異。

圖9 A 相接地故障下節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of calculation results of node voltage under-phase A grounding fault

圖10 BC 相間故障B 相節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of calculation results of phases-B node voltage under phase-to-phase fault between phases B and C

圖11 BC 兩相接地故障C 相節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of calculation results of phases-C node voltage under two-phase grounding fault in phases B and C

由圖9～圖11 可知，直接法、GMRES 算法的計(jì)算結(jié)果及PSCAD仿真結(jié)果基本吻合。由于GMRES算法在迭代中舍入了誤差，相較于直接法，GMRES算法計(jì)算誤差略大，但計(jì)算誤差保持在較小的范圍內(nèi)，這與13 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果一致。在單相故障情況下，GMRES 算法的子空間維數(shù)m=48，GMRES算法比直接法的計(jì)算速度提升了4.54%，提升速度相對(duì)較小。

5.3 大型合成節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)

為進(jìn)一步驗(yàn)證GMRES算法比直接法擁有更快的計(jì)算速度，搭建基于IEEE69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的合成網(wǎng)絡(luò)，如圖12所示。其中，Zline為各子系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線路等效阻抗。大型合成節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)由多個(gè)69 節(jié)點(diǎn)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)形成，每個(gè)子系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)1 與電網(wǎng)相連，同時(shí)每子系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)27與下一級(jí)子系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)69通過(guò)聯(lián)絡(luò)線路相連。由此分別搭建了483 節(jié)點(diǎn)、966節(jié)點(diǎn)和1 932 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)，本節(jié)算例用于驗(yàn)證所提方法可有效提升短路電流計(jì)算速度，因此所有測(cè)試系統(tǒng)的故障類(lèi)型均設(shè)置為同一類(lèi)型。需要說(shuō)明的是，483 節(jié)點(diǎn)和966 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)的故障節(jié)點(diǎn)都選取在節(jié)點(diǎn)29，故障類(lèi)型為A 相接地故障，過(guò)渡電阻為0.001 Ω；1 932 節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)的故障節(jié)點(diǎn)選取節(jié)點(diǎn)9，故障類(lèi)型為A 相接地故障，過(guò)渡電阻為0.010 Ω。

圖12 基于IEEE69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的合成網(wǎng)絡(luò)Fig.12 Synthetic network based on IEEE 69-node system

直接法與GMRES 算法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比如表7所示，GMRES 算法短路電流計(jì)算結(jié)果與PSCAD 仿真結(jié)果的對(duì)比如表8所示。

表7 直接法和GMRES 算法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比Tab.7 Comparison of calculation time between direct and GMRES algorithm

表8 PSCAD 仿真和GMRES 算法短路電流計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.8 Comparison of calculation results of short-circuit current between PSCAD simulation and GMRES algorithm

由表7 可知，隨著系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增加，直接法和GMRES 算法求解時(shí)間隨之增加。同時(shí)GMRES 算法比直接法計(jì)算提升速度從123節(jié)點(diǎn)的4.54%增加至1 932 節(jié)點(diǎn)的54.91%。由此可知相對(duì)于直接法，GMRES算法在處理大型網(wǎng)絡(luò)的短路電流計(jì)算時(shí)擁有更快的計(jì)算速度，這對(duì)于提升短路電流計(jì)算速度有顯著的工程意義。

6 結(jié)語(yǔ)

本文研究了含IIDG 的不平衡配電網(wǎng)短路電路快速計(jì)算方法。首先分析了含IIDG 的不平衡配電網(wǎng)故障穿越控制方法，推導(dǎo)了通用短路計(jì)算等效模型，并指出在不對(duì)稱故障時(shí)，IIDG 輸出電路包含負(fù)序分量；其次，通過(guò)引入虛擬節(jié)點(diǎn)和虛擬線路，同時(shí)結(jié)合廣義Fortescue 變換推導(dǎo)了不平衡配電網(wǎng)的序等效建模方法。在考慮負(fù)載、多相線路及線路耦合對(duì)短路電流影響的基礎(chǔ)上，提出了基于疊加定理的短路電流迭代計(jì)算法，通過(guò)引入GMRES 算法迭代求解稀疏方程組，可避免求解系統(tǒng)阻抗矩陣，從而大幅減小短路電流計(jì)算時(shí)間。通過(guò)測(cè)試算例驗(yàn)證了本文所提短路電流計(jì)算方法在兼顧計(jì)算精度的同時(shí)有效地提升了短路電流計(jì)算速度。