基于梁結(jié)構(gòu)等效模型的機(jī)器人銑削有限元仿真

曾崢嶸，周勇，胡楷雄，李衛(wèi)東

(1.武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院，湖北武漢 430063；2.上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

0 前言

銑削加工的工藝參數(shù)影響著零件加工精度與表面質(zhì)量的好壞。隨著有限元軟件的發(fā)展，有限元仿真在切削加工工藝參數(shù)優(yōu)化中得到了廣泛的應(yīng)用。例如，利用AdvantEdge軟件建立有限元模型分析刀具幾何參數(shù)對(duì)銑削力的影響[1]；采用Deform-3D軟件模擬不同幾何參數(shù)刀具的銑削加工來優(yōu)化刀具結(jié)構(gòu)[2-3]；基于Abaqus軟件建立皮質(zhì)骨加工模型，尋找最優(yōu)的切削參數(shù)[4-5]；利用Abaqus仿真尋找最佳刀軸傾角[6]。上述研究主要針對(duì)機(jī)床加工的工藝參數(shù)優(yōu)化進(jìn)行仿真，通常忽略了設(shè)備剛度對(duì)切削的影響。

相較于機(jī)床，工業(yè)機(jī)器人用于銑削加工具有工作范圍廣、靈活性高等優(yōu)點(diǎn)。然而機(jī)器人的弱剛度特性會(huì)導(dǎo)致銑削加工過程中較大的末端變形，影響加工質(zhì)量[7]。因此，眾多研究者提出了多種剛度性能指標(biāo)用于優(yōu)化機(jī)器人姿態(tài)。CHEN等[8]提出了用于優(yōu)化機(jī)器人姿態(tài)的曲面法向柔度系數(shù)指標(biāo)。段現(xiàn)銀等[9]采用曲面法向柔度系數(shù)指標(biāo)，有效提高了零件曲面法向輪廓精度。PENG等[10]使用柔度橢球體積評(píng)價(jià)機(jī)器人末端整體變形量。GUO等[11]提出了基于切削力的剛度指標(biāo)，更全面地評(píng)價(jià)機(jī)器人姿態(tài)。ZHU等[12]利用基于切削力的剛度指標(biāo)結(jié)合材料去除率優(yōu)化刀軸傾角，但該指標(biāo)計(jì)算比較復(fù)雜耗時(shí)。通過機(jī)器人銑削仿真可以提前預(yù)測(cè)機(jī)器人運(yùn)行情況，并在缺乏實(shí)際銑削實(shí)驗(yàn)與專用測(cè)量?jī)x器的情況下為機(jī)器人銑削加工的姿態(tài)優(yōu)化提供理論基礎(chǔ)。如MOUSAVI等[13]建立了工業(yè)機(jī)器人的有限元數(shù)值模型，分析了冗余角對(duì)加工顫振的影響；但該模型主要針對(duì)機(jī)器人整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)建，尺寸大且建立繁瑣，如更換機(jī)器人型號(hào)則需要重新建模。

本文作者針對(duì)機(jī)器人銑削加工過程的末端變形情況，采用Abaqus軟件建立機(jī)器人銑削加工有限元模型，根據(jù)機(jī)器人末端剛度與銑削加工的振動(dòng)特點(diǎn)將機(jī)器人末端變形等效為梁的拉壓變形，模型通用性好且易于模擬機(jī)器人不同姿態(tài)下的末端變形情況。最后設(shè)計(jì)力錘實(shí)驗(yàn)獲取梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)參數(shù)，通過銑削實(shí)驗(yàn)對(duì)模型的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，并基于仿真對(duì)兩種不同的機(jī)器人剛度性能指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比分析。

1 銑刀-工件有限元仿真模型

表1 球頭銑刀參數(shù)

在Abaqus軟件中采用修正后的Johnson-Cook (J-C) 本構(gòu)模型與物理分離準(zhǔn)則的J-C失效模型定義6061鋁合金的材料屬性，表2、3為模型所采用的屬性參數(shù)[14-15]。

表2 J-C本構(gòu)模型

表3 材料失效參數(shù)

綜合考慮仿真計(jì)算量與精度，預(yù)先對(duì)模型進(jìn)行多種網(wǎng)格尺寸的短時(shí)仿真對(duì)比，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格尺寸為0.3 mm時(shí)較為合適。定義刀具為剛體約束，不考慮磨損情況，刀具與工件網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)法向行為為硬接觸，切向摩擦因數(shù)為0.7。

2 梁結(jié)構(gòu)等效的機(jī)器人銑削有限元模型

在刀具-工件有限元模型基礎(chǔ)上分析機(jī)器人末端特性，添加梁結(jié)構(gòu)建立機(jī)器人銑削有限元模型。

2.1 機(jī)器人柔度矩陣

針對(duì)KUKA KR60-3機(jī)器人銑削加工進(jìn)行研究，首先采用改進(jìn)D-H法建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，再基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型獲取機(jī)器人柔度矩陣。利用MATLAB計(jì)算運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣，通過關(guān)節(jié)剛度與雅可比矩陣計(jì)算末端剛度矩陣。為了便于后續(xù)變形計(jì)算，采用公式(1)直接求解末端剛度矩陣的逆矩陣，即柔度矩陣：

(1)

其中：Jθ為機(jī)器人雅可比矩陣；Kθ為關(guān)節(jié)剛度矩陣；Cfd為力-平移柔度矩陣；Cfδ為力-旋轉(zhuǎn)柔度矩陣；Cmd為扭矩-平移柔度矩陣；Cmδ為扭矩-旋轉(zhuǎn)柔度矩陣。通常情況只考慮由機(jī)器人末端受力引起的平移變形，后續(xù)針對(duì)力-位移柔度矩陣計(jì)算末端變形量。

2.2 機(jī)器人末端振動(dòng)分析

實(shí)際銑削加工過程中，機(jī)器人末端在動(dòng)態(tài)銑削力作用下產(chǎn)生受迫振動(dòng)。將機(jī)器人末端簡(jiǎn)化為多自由度線性系統(tǒng)，可看作單自由度系統(tǒng)的線性疊加，考慮機(jī)器人末端的平移變形，可將機(jī)器人末端振動(dòng)分解為X、Y、Z三方向的單自由振動(dòng)系統(tǒng)。

將機(jī)器人末端主軸部分在基坐標(biāo)系的三軸方向振動(dòng)均簡(jiǎn)化為如圖1所示的動(dòng)力學(xué)模型，由公式(2)所示的微分方程表述：

下面介紹一個(gè)持續(xù)長(zhǎng)度的概念,它是蠕蟲狀鏈模型中的重要參數(shù).對(duì)于一條由鍵長(zhǎng)為l、鍵角為α的n個(gè)鍵所組成的大分子鏈,將第一個(gè)鍵的方向看成z軸(見圖1),那么第二個(gè)鍵以α角與之相連,鍵矢量間的夾角為θ,第三個(gè)鍵又以α角與第二個(gè)鍵相連,其鍵矢量間的夾角亦為θ,依次類推,這條鏈的末端距在z軸上投影的平均長(zhǎng)度即為n個(gè)鍵矢量在z軸投影長(zhǎng)度的加和:

(2)

圖1 單自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

其中：ma為等效質(zhì)量；Ca為等效阻尼；Ka為等效剛度，通過柔度矩陣獲取；F(t)為隨時(shí)間變化的銑削力；X(t)為振動(dòng)位移，振動(dòng)位移包含與切削力頻率相同的受迫振動(dòng)部分和初始條件引起的自由振動(dòng)部分。

2.3 梁結(jié)構(gòu)等效機(jī)器人末端的有限元模型

基于上述機(jī)器人末端振動(dòng)變形分析，采用懸臂梁結(jié)構(gòu)等效單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)，懸臂梁的拉伸變形可根據(jù)公式(3)進(jìn)行計(jì)算：

(3)

其中：F為作用于梁端部垂直截面的外力；L0為懸臂梁原始長(zhǎng)度；L1為懸臂梁拉伸變形后長(zhǎng)度；E為梁材料彈性模量；A為梁截面面積，常用的梁截面中矩形截面計(jì)算較為簡(jiǎn)單，適合作為等效梁截面。

機(jī)器人末端平移變形如公式(4)所示：

(4)

其中：[xyz]T為機(jī)器人末端平移變形列向量；[FxFyFz]T為機(jī)器人末端外力列向量。

根據(jù)公式(4)可知，機(jī)器人末端在某方向產(chǎn)生的位移由三方向的外力共同決定，并與機(jī)器人柔度相關(guān)。故為獲取末端在刀位點(diǎn)坐標(biāo)系的某一軸向變形，需得到三方向外力作用下的變形量并進(jìn)行疊加。

將機(jī)器人在刀位點(diǎn)坐標(biāo)系三軸方向的變形等效為3根懸臂梁的拉壓變形，通過公式(5)計(jì)算得到三方向上的剛度大小分別為k1、k2、k3。公式中3根梁的橫截面積A與長(zhǎng)度L0大小一致且始終設(shè)置為固定值；Cij根據(jù)公式(4)選取，i取決于仿真模擬的變形方向，j取決于外力方向。文中首先模擬Z軸方向變形，故先選取C31、C32、C33進(jìn)行計(jì)算。

(5)

當(dāng)給定某一機(jī)器人姿態(tài)時(shí)，通過柔度矩陣計(jì)算公式(1)將所需的柔度元素值代入公式(5)，獲取梁結(jié)構(gòu)彈性模量參數(shù)E。為梁結(jié)構(gòu)賦予等效質(zhì)量與阻尼后即可模擬給定姿態(tài)機(jī)器人銑削加工中末端的Z向變形情況。

在Abaqus中建立給定幾何尺寸的矩形截面梁，并賦予材料屬性。創(chuàng)建連接梁端點(diǎn)與刀具中心點(diǎn)的線條，線條連接特征為鉸連接，即只允許刀具相對(duì)于梁端點(diǎn)進(jìn)行自身旋轉(zhuǎn)。分別為刀具添加旋轉(zhuǎn)速度、為工件底部節(jié)點(diǎn)添加進(jìn)給速度，并約束梁整體只發(fā)生軸向變形。圖2所示為所建立的機(jī)器人銑削加工有限元模型，通過該模型可模擬指定機(jī)器人姿態(tài)下刀位點(diǎn)坐標(biāo)系任一軸向上的機(jī)器人末端變形情況。

圖2 基于梁結(jié)構(gòu)等效機(jī)器人末端的有限元模型

3 仿真模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與應(yīng)用

3.1 機(jī)器人末端力錘實(shí)驗(yàn)

通過力錘敲擊實(shí)驗(yàn)測(cè)量機(jī)器人末端固有頻率，間接獲取等效質(zhì)量與阻尼，完善模型參數(shù)。錘擊實(shí)驗(yàn)采用三向加速度傳感器，設(shè)置數(shù)據(jù)采集頻率為6 000 Hz，獲取6個(gè)姿態(tài)下的機(jī)器人末端固有頻率。表4所示為6組姿態(tài)的錘擊實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，發(fā)現(xiàn)不同敲擊力與不同姿態(tài)下的機(jī)器人末端三方向的固有頻率在較小區(qū)間變化，可采用固有頻率平均值作為參數(shù)。圖3為Z向固有頻率示意。

圖3 測(cè)量的末端Z向固有頻率

表4 機(jī)器人部分姿態(tài)末端固有頻率 單位：Hz

瑞利比例阻尼模型符合機(jī)器人運(yùn)動(dòng)情況，如公式(6)所示[16]，用于梁結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置，設(shè)置阻尼系數(shù)分別為αM=0.672 1和αK=0.148 6。

Ca=αMMa+αKKa

(6)

3.2 機(jī)器人銑削輪廓誤差與銑削力實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性，采用KUKA KR60-3機(jī)器人進(jìn)行6061鋁合金的球頭銑刀銑削實(shí)驗(yàn)，利用Keyence LJ-V7080型超高速線激光輪廓掃描儀采集銑削實(shí)驗(yàn)的表面輪廓信息，采用Kistler 9129AA測(cè)力儀和Kistler 5070電荷放大器測(cè)量銑削力。實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。

圖4 機(jī)器人銑削實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

通過激光掃描儀獲取輪廓曲線，掃描頻率為200 Hz，掃描速度為1 mm/s。為避免偶然性，進(jìn)行3次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，對(duì)測(cè)量值取平均值。表5為實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果數(shù)據(jù)。

表5 實(shí)驗(yàn)與仿真測(cè)量結(jié)果對(duì)比

表5中仿真與實(shí)驗(yàn)的銑削力存在誤差的原因在于仿真模型設(shè)置的加工條件較為理想化，仿真過程不考慮機(jī)器人自身定位誤差、刀具變形磨損、水冷降溫、工件不平整等因素，因此模擬的銑削過程更加平穩(wěn)，數(shù)值更小。圖5為實(shí)際銑削加工與仿真的輪廓誤差曲線，可知仿真與實(shí)際最大輪廓誤差的相對(duì)誤差為5.4%，最小輪廓誤差的相對(duì)誤差為10.2%，基本符合實(shí)際銑削情況。表明基于梁結(jié)構(gòu)等效機(jī)器人末端的有限元模型可以有效地仿真機(jī)器人銑削加工中的末端變形情況。

圖5 實(shí)際與仿真輪廓誤差曲線對(duì)比

3.3 機(jī)器人剛度指標(biāo)仿真對(duì)比分析

本文作者針對(duì)常用的兩種剛度性能指標(biāo)進(jìn)行仿真對(duì)比，分別是基于工件幾何形狀的曲面法向柔度系數(shù)指標(biāo)cn[8]和考慮切削力的剛度指標(biāo)cf[11]。指標(biāo)定義如公式(7)所示：

(7)

其中：en為曲面法向方向的單位矢量；ef為切削力方向的單位矢量。指標(biāo)cn用于評(píng)價(jià)機(jī)器人末端在工件表面法向受單位切削力時(shí)的變形程度，指標(biāo)cf評(píng)價(jià)機(jī)器人末端受單位切削力時(shí)，在切削力方向的變形程度，因此指標(biāo)cf需要提前知道銑削力方向。

通過指標(biāo)公式可知，指標(biāo)cf評(píng)價(jià)了機(jī)器人末端在切削力方向上的整體變形程度，指標(biāo)cn只考慮了機(jī)器人末端在工件表面法向的抗變形能力，因此指標(biāo)cf較指標(biāo)cn考慮更全面，但指標(biāo)cf需要提前計(jì)算銑削力方向，更加耗時(shí)。為進(jìn)一步分析，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比。選取相同末端位置的9組不同冗余角對(duì)應(yīng)的姿態(tài)進(jìn)行剛度指標(biāo)計(jì)算，冗余角取值范圍為±40°，取值間隔為10°，表6為部分姿態(tài)對(duì)應(yīng)的剛度指標(biāo)。根據(jù)指標(biāo)差異選取冗余角為-40°與40°的兩組姿態(tài)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)置刀具進(jìn)給速度為2.5 mm/s，旋轉(zhuǎn)速度為9 000 r/min，切削深度為1 mm。

表6 相同末端位置下不同冗余角的剛度指標(biāo)

仿真對(duì)比結(jié)果如表7所示，姿態(tài)2的總變形量略小于姿態(tài)1，但Z向(法向)變形量明顯大于姿態(tài)1。在曲面銑削加工過程中，法向輪廓誤差是影響曲面加工精度的主要因素[8-9]，可得出結(jié)論：雖然通過指標(biāo)cf優(yōu)化機(jī)器人姿態(tài)可保證總變形量較優(yōu)，但優(yōu)勢(shì)不明顯，而指標(biāo)cn可以更好地優(yōu)化法向加工精度，更適用于曲面加工。同時(shí)指標(biāo)cn計(jì)算更簡(jiǎn)便，在效率上優(yōu)于指標(biāo)cf。在不需要進(jìn)行加工精度極為苛刻的銑削任務(wù)時(shí)，推薦使用曲面法向柔度系數(shù)指標(biāo)。

表7 剛度性能指標(biāo)仿真對(duì)比

4 結(jié)論

利用梁結(jié)構(gòu)建立了考慮機(jī)器人弱剛度特性的銑削有限元模型，通過6061鋁合金的球頭銑刀銑削實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了仿真模型的正確性，最后對(duì)比實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)剛度性能指標(biāo)的選取，得到以下結(jié)論：

(1)考慮機(jī)器人的弱剛度特性，將機(jī)器人末端變形與姿態(tài)相聯(lián)系，在刀具-工件有限元模型中添加與機(jī)器人姿態(tài)相關(guān)的梁結(jié)構(gòu)來等效機(jī)器人末端變形情況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于梁結(jié)構(gòu)等效模型建立的銑削有限元模型可以正確模擬機(jī)器人銑削加工過程。

(2)通過在所提出模型上的仿真對(duì)比發(fā)現(xiàn)，基于考慮切削力的剛度指標(biāo)cf優(yōu)化機(jī)器人姿態(tài)可以保證機(jī)器人末端總變形量最小，但無法約束特定方向的變形情況。基于工件的指標(biāo)cn對(duì)提升法向加工精度有顯著的效果，從效率和加工需求判斷，指標(biāo)cn比指標(biāo)cf更適用于優(yōu)化機(jī)器人銑削加工曲面的姿態(tài)。