液體動靜壓球軸承軸心運動軌跡研究

秦薇，沈景鳳，朱銳，程攀，薛浩，薛偉強

(上海理工大學機械工程學院，上海 200093)

液體動靜壓球軸承適用于要求旋轉精度及剛度高的產品中[1]，如高精密加工機床頭架中的主軸軸系等。軸心運動軌跡可以綜合反映軸承工作狀態，當軸承受到外載荷作用會影響軌跡形態，而軌跡形狀和軸心位置振動幅值的變化可以用來判斷軸承是否為最佳穩定形態近似圓的橢圓形。軸承轉子系統穩定性分析方法主要有微擾法和非線性軌跡法，其中微擾法在研究轉子瞬態響應、沖擊載荷響應問題時存在一定的局限性，非線性軌跡法能很好解決上述非線性問題[2]。轉子系統受到的載荷包括自身重力、轉子質量不平衡載荷以及主軸加工過程中的階躍載荷。

關于液體動靜壓球軸承轉子系統的軸心運動軌跡相關文獻較少，而分析氣體球軸承轉子動力學相關文獻較多，可為液體動靜壓球軸承的回轉精度和工作平穩性的研究提供參考。WANG[3]采用微分變換法和有限差分法相結合的混合數值方法，研究了球形氣體潤滑軸承支承的柔性轉子的非線性動力學行為，揭示了軸承系統的動態特性隨著轉子質量和軸承數量的增加而發生的變化。DU等[4]研究了螺旋槽對置半球氣體軸承的非線性動力學行為，采用有限元法和有限差分法相結合的方法求解動態雷諾方程，獲得并分析轉子中心線軌跡。黃爭[5]建立半球型動壓氣浮軸承潤滑理論模型，對軸承的靜、動態性能進行分析，用軌跡法對軸承進行穩定性和不平衡性響應計算。潘春陽[6]設計一種徑向與半球氣體軸承聯合支撐的氣浮軸承，進行動靜態分析和仿真驗證，采用微擾法推導雷諾方程計算軸承剛度阻尼，并建立起主軸-轉子動力學模型。賈晨輝等[7]建立了球面螺旋槽氣體動壓軸承的潤滑數學模型，用FLUENT仿真分析得到承載能力最大的結構參數和工作參數，研究動態性能和軸承瞬態非線性動力學行為。關于液體潤滑軸承的軸心軌跡研究主要是關于柱形滑動軸承。馬金奎等[8]研究了動壓滑動軸承在瞬變載荷作用下的潤滑情況，通過數值計算建立非線性軸心軌跡計算模型。MERUANE和PASCUAL[9]用CFD軟件建立滑動軸承模型，研究了軸心軌跡的變化，用位移響應識別了軸承的非線性特性系數。胡燦等人[10]建立可控節流靜壓軸承動態軸心軌跡模型，研究可控節流器參數對液體靜壓軸承軸心軌跡回轉精度和軸心波動幅值的影響。林祿生等[11]建立液體動靜壓軸承CFD模型，提出了基于CFD 與轉子動力學之間的流固耦合方法來計算轉子-軸承系統軸心軌跡。SINGH等[12]采用有限元方法對液體動壓滑動軸承雷諾方程進行離散化處理，用微擾法計算軸承剛度阻尼，通過四階龍格庫塔法計算線性和非線性軸頸運動軌跡模型。

為研究改變外載荷參數下液體動靜壓球軸承的軸心軌跡形態變化，本文作者以液體動靜壓球軸承為研究對象，通過將球坐標系轉換成直角坐標系計算動態雷諾方程和流量連續性方程，通過計算油膜壓力分布得到油膜力，考慮外載荷、轉子自身重力和非線性油膜力，建立轉子運動軌跡模型，采用歐拉算法預測出軸心下一個時刻位移、速度和加速度，從而得出完整的軸心軌跡圖，并分析轉子自身重力、不平衡載荷和階躍載荷對轉子運動軌跡的影響，為液體動靜壓球軸承的回轉精度和工作平穩性的研究提供理論依據。

1 液體動靜壓球軸承轉子系統瞬態軸心軌跡計算數學模型

1.1 結構模型

液體動靜壓球軸承軸系結構如圖1所示。液體動靜壓球軸承工作時，油泵將油箱中壓力油輸送至粗過濾裝置處理后，再通過精過濾裝置過濾掉空氣和微小雜質。若油液壓力過大則會通過溢流閥流回到油箱。過濾后的油液通過節流器流入油腔，形成一定油膜來支承轉子工作，隨后油液會隨著轉子的運動又流回油箱，最終形成了完整的液壓回路。

圖1 液體動靜壓球軸承軸系結構示意

1.2 液體動靜壓球軸承潤滑數學模型

1.2.1 雷諾方程

以液體潤滑理論和流體力學為基礎，在不考慮軸向的軌跡影響下，基于簡化的納維斯托克斯方程和無滑移的邊界條件，建立了球坐標系下液體動靜壓球軸承的動態量綱一化雷諾方程[13]：

(1)

由于軸承是球形，為了方便求解域劃分網格，將球坐標轉換成笛卡爾坐標，則球面求解域轉換成平面求解域[14]。參數變換式為：a=-lntan(θ/2)。

笛卡爾坐標系下的量綱一化雷諾方程如下所示：

(2)

式中：Λ=6ωηR2/(psC2)。

用余弦定理計算得到油膜厚度公式為

h=C+xsinφ+ycosφ

(3)

式中：(x,y)為軸心位置。

量綱一化的油膜厚度公式為

H=1+Xsinφ+Ycosφ

(4)

式中：(X，Y)為量綱一化后的軸心位置，X=x/C；Y=y/C。

其中油膜厚度隨時間的變化公式為

(5)

1.2.2 流量連續

文中主要針對四油腔液體動靜壓球軸承，4個油腔呈對稱分布。流經小孔的流量計算公式如下：

(6)

式中：K0為流量系數；d為小孔直徑(m)；pbi為油腔壓力(MPa)；ρ為油液密度(kg/m3)。

油腔壓力可以根據流量連續條件求出，即單位時間內潤滑油流入油腔的流量與流出油腔的流量相等。根據圖2所示油腔流量示意圖，推導出流量公式為

(7)

圖2 油腔流量示意

圖3 量綱一油膜壓力分布

在單位時間內潤滑油通過截面的量綱一化平均體積流量公式為

(8)

(9)

式中：ω為松弛因子，一般在[0，2]范圍內取值；k為迭代次數，k=0，1，2，…。

采用的收斂標準為

(10)

式中：δ為收斂精度。

δ取值為0.000 01，即當迭代精度小于0.000 01時，迭代求解停止。

1.2.3 液體動靜壓球軸承油膜合力計算

油膜合力可以反映油膜的承載能力。運用辛普森積分法對油膜壓力的徑向分力和周向分力進行計算，即可得到液體動靜壓球軸承的油膜力，公式如下：

(11)

1.3 牛頓動力學方程

軸承主軸轉動時可能會受到外載荷的影響，其中包括轉動部件的殘余不平衡量引起的周期性不平衡載荷和軸承在轉動中受到的沖擊、碰撞等瞬變載荷。由于存在不平衡載荷，所以軸心位置不穩定，需要建立運動方程來求解軸心軌跡。

由受力分析可得到軸心的運動方程：

(12)

式中：qx、qy為作用于軸上的動載荷；m為主軸的質量(kg)。

方程兩端同除以MCω2，則可以得到量綱一化運動方程：

(13)

當存在轉動部件的殘余不平衡量時，主軸會受到不平衡載荷作用。用eb來表示主軸質量偏心程度。

(14)

2 非線性軸心軌跡模型求解

求解軸心非線性軌跡時，需要同時求解潤滑方程和運動方程，算法流程如圖4所示。

圖4 軸心軌跡模型計算流程

在啟動過程中主軸由靜壓作用支撐，則認為軸心初始位置在軸承中心位置，初始位置對最后穩定的軸心平衡位置沒有影響，因此設定軸心初始位移和速度參數為0。求解該軸心位置的動態雷諾方程，得出其油膜壓力分布，從而得到非線性油膜力。將求解出的外載荷和承載力的值代入運動方程，求解得到軸心瞬時加速度。確定計算周期和時間步長，根據歐拉算法迭代，計算出下一刻軸心的位置、速度和加速度參數。公式如下：

(15)

3 結果與分析

3.1 非線性軸心軌跡計算實例

計算軸心軌跡參數如表1所示，軸承轉速n=3 000 r/min，轉子質量m=40 kg，參數α=3.971 8。只考慮軸承重力，不考慮不平衡載荷對軌跡的影響，計算時間τ=20π。

圖5 軸心非線性軌跡和量綱一軸心位移、速度、加速度、油膜力曲線

3.2 不同轉子質量下軸心軌跡變化情況

轉子質量的大小取決于軸承的應用場合，對于車床來說，由于被加工工件的變化，轉子的質量也是變化的。在表1中軸承主要參數不變的條件下，選取質量為40、45、50和60 kg的轉子對比軸心軌跡的變化，如圖6所示。

圖6 不同質量轉子的軸心軌跡

根據圖6中軌跡數據整理出轉子質量為40、45、50和60 kg的振動幅值和平衡時油膜力數據，如表2所示。

表2 不同轉子質量的振動幅值對比

當轉子質量在增加時，X方向振動幅度變化較小而Y方向振動幅度變化較大，軌跡形狀逐漸偏橢圓形并且橢圓度在增加；轉子質量越大，平衡時所需的油膜力也越大，回轉精度越低。

3.3 不平衡載荷下軸心軌跡

在加工機床中，由于軸承轉子系統質量不均勻和轉子部件產生的磨損會導致系統受到不平衡載荷，會出現振動現象。在表1中軸承主要參數不變的條件下，分析不平衡量εb=0、εb=0.05、εb=0.1和εb=0.25對轉子軸心運動軌跡的影響，結果如圖7所示。

圖7 軸心軌跡和位移隨不平衡量εb變化

根據圖7數據整理出表3所示不平衡量εb=0、εb=0.05、εb=0.1和εb=0.25時的軸心平衡位置和振動幅值數據。

表3 不同不平衡量εb時的平衡參數對比

此時主軸除了受到重力和非線性油膜力還受到不平衡載荷的影響。其中不平衡量εb越小，振動幅值越小，回轉精度越高；隨著不平衡量εb的增加軸心平衡位置變化較小，振動幅值變化較大。

3.4 階躍載荷下軸心軌跡的瞬態特性

階躍載荷為瞬時突加長時間恒定的外載荷。例如，當刀具起動未接觸被加工件表面，軸承不受外力(不包括自重)；當刀具接觸被加工件表面加工時，軸承受到一個突加的長時間作用的切削力。軸承轉速為n=3 000 r/min，如圖8所示為階躍載荷作用于軸承，加載方式見式(16)。

圖8 階躍載荷作用

(16)

圖9 階躍載荷作用下的軸心軌跡和量綱一軸心位移、速度、油膜力曲線(β=0.5)

圖10所示為不同階躍載荷作用下的軸心軌跡和位移曲線。從圖10(a)(b)可看出，在τ≥20π時，β=0.1，軸承穩定后軸心平衡位置在X=0.622 1、Y=0.047 97。從圖10(c)(d)可看出，在τ≥20π時，β=0.3，軸承穩定后軸心平衡位置在X=0.694 8、Y=0.049 34。對比圖9(b)和圖10(b)(d)可發現，階躍載荷越大，軸心平衡位置越大，平衡收斂時間越長。

圖10 不同階躍載荷作用下的軸心軌跡和位移曲線

4 對比驗證

熊友平[15]在基于小孔節流的液體靜壓軸承軸心非線性軌跡計算模型基礎上，分別求取在不同的不平衡量下的液體靜壓軸承軸心軌跡。當不平衡量εb=0時，液體靜壓軸承軸心在不斷振動后最終穩定于點X=0.088 1、Y=0.203 9(文中與該文獻坐標方向不同)。當不平衡載荷不斷增大時，軸心軌跡的半徑也不斷增大，軸心軌跡中心不斷往軸承中心靠近，旋轉精度降低。與文中算例相比較，兩者的數據趨勢接近，在圖7和圖11中得以證明。

圖11 軸心非線性軌跡隨不平衡量εb的變化

5 結論

以小孔節流的液體動靜壓球軸承轉子系統為研究對象，建立液體動靜壓球軸承轉子系統動力學模型，分析不平衡載荷、質量和階躍載荷對轉子回轉精度的影響。主要結論如下：

(1)隨著轉子質量的增加，所需平衡的油膜力增加，軸心振動幅度增加，從而導致轉子回轉精度降低。

(2)不平衡量εb數值越小，振動幅值越小，回轉精度越高，因此減小不平衡值將減小振幅并提高旋轉精度。

(3)當軸承增加階躍載荷作用時，由于外載荷增加，產生較大油膜壓力，X方向和Y方向上的軸心位置均發生變化；階躍載荷越大，達到平衡時間越長。