基于層間墊平的囊匣三維裝箱優(yōu)化設(shè)計(jì)

李國志，李瑩欣，雒波波，劉迪，譚思可，李文鳳

基于層間墊平的囊匣三維裝箱優(yōu)化設(shè)計(jì)

李國志1a,b，李瑩欣1a,b，雒波波2，劉迪1a,b，譚思可1a,b，李文鳳1c*

（1.陜西科技大學(xué) a.中國輕工業(yè)功能印刷與運(yùn)輸包裝重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 b.輕化工程國家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心 c.設(shè)計(jì)與藝術(shù)學(xué)院，西安 710021；2.秦始皇帝陵博物院，西安 710600）

為提高囊匣的裝載率及裝箱效率，研究層間墊平的強(qiáng)異構(gòu)類的三維裝箱問題，實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算囊匣裝箱方案和襯墊方案并指示裝箱。基于囊匣實(shí)際裝箱需求，以襯墊體積最小為目標(biāo)，設(shè)計(jì)基于貪心策略與改進(jìn)的裝箱順序策略的兩步優(yōu)化啟發(fā)式算法，對(duì)裝箱與襯墊方案進(jìn)行優(yōu)化；并根據(jù)不同放置方向，設(shè)計(jì)不同的輸出效果以指示裝箱。與裝箱優(yōu)化前數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明，該算法推薦的裝箱方案與襯墊方案可以減少木箱的使用數(shù)量與體積，減少墊平用襯墊體積7.21%，裝箱時(shí)間縮短了約一半。文中設(shè)計(jì)的混合啟發(fā)式算法能為囊匣裝箱問題找到合適的裝箱與襯墊方案，減少襯墊的使用，提高裝載率以及裝箱效率。

囊匣；三維裝箱；襯墊生成；貪心策略；啟發(fā)式算法

文物與藝術(shù)品是人類藝術(shù)的瑰寶，傳承文化，溝通中外。在它們儲(chǔ)存、運(yùn)輸中通常使用定制囊匣作為包裝，一物一盒，尺寸多樣[1]。隨著文化事業(yè)的發(fā)展，文物展出、藝術(shù)品交易等活動(dòng)日益增多，不可避免地面臨著更多的搬運(yùn)、儲(chǔ)存、運(yùn)輸?shù)惹闆r。目前的囊匣裝箱往往依靠人工經(jīng)驗(yàn)重復(fù)試裝，無法保證裝載率與裝載效率，且目前對(duì)三維裝箱的研究，沒有與囊匣裝箱場景相匹配的裝箱軟件去計(jì)算裝箱方案。因此，研究該場景下的裝箱問題，設(shè)計(jì)裝箱算法，對(duì)推動(dòng)文物、藝術(shù)品的智能裝箱、智能管理具有重要意義。

裝箱問題是典型的NP-Hard問題，無法求得精準(zhǔn)的解。按照維度可以將其分為一維、二維、三維裝箱問題[2]。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)裝箱優(yōu)化問題進(jìn)行了深入的研究，取得了一定的研究成果。目前的研究問題有在線裝箱[3]、多尺寸容器的裝載[4]、基于現(xiàn)實(shí)多種約束的裝箱系統(tǒng)開發(fā)[5]等。大多研究者通過結(jié)合構(gòu)造性啟發(fā)式算法與元啟發(fā)式算法來解決裝箱問題。常見的元啟發(fā)式算法有模擬退火算法（SA）[6]、遺傳算法（GA）[7]、蟻群算法（AC）[8]、禁忌搜索算法（TS）[9]、大規(guī)模鄰域搜索算法[10]等，強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法[11]也應(yīng)用于裝箱問題求解中。構(gòu)造性啟發(fā)式算法有基于塊裝載[12]、基于層裝載、深度優(yōu)先搜索等的三維裝箱啟發(fā)式算法，有基于左下、最低水平線、最低水平線搜索等的二維裝箱啟發(fā)式算法。不過，由于每種算法都有它特定的一個(gè)前提條件，這就使得在面對(duì)各種復(fù)雜的約束時(shí)，這些算法的應(yīng)用場景就會(huì)具有局限性。

本文基于囊匣層間墊平的裝箱場景，以使用襯墊體積最小為優(yōu)化目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，求解優(yōu)化囊匣裝箱方案及襯墊方案，主要從以下3點(diǎn)解決該問題：一是設(shè)計(jì)基于貪心策略的啟發(fā)式算法，將目標(biāo)問題分解為2步進(jìn)行優(yōu)化求解；二是設(shè)計(jì)一種啟發(fā)式的基于裝箱經(jīng)驗(yàn)的裝箱序列的生成算法，使尋優(yōu)更高效；三是設(shè)計(jì)裝箱方案與襯墊方案的輸出效果，有效指示裝箱。

1 囊匣裝箱問題分析

囊匣是從庫房貨架上搬運(yùn)裝至木箱中再裝入車廂開始運(yùn)輸。本文研究的是囊匣的第1次集裝，即從貨架到木箱中的裝箱過程。

囊匣的組成與結(jié)構(gòu)由其內(nèi)裝物的特性決定。由于文物、藝術(shù)品的特性，囊匣由內(nèi)囊和外匣組成，根據(jù)內(nèi)裝物重量的不同，外匣的制作材料有瓦楞紙板、膠合板等，內(nèi)囊的材料有棉花、聚氨酯泡沫等[13]。為了在搬運(yùn)、儲(chǔ)存、運(yùn)輸中很好地保護(hù)文物與藝術(shù)品，囊匣尺寸要很好地貼合其內(nèi)裝物，因此囊匣多量身定做，尺寸非常豐富[14]。

囊匣由于內(nèi)裝物的獨(dú)特性，其裝箱區(qū)別于其他裝箱問題，有獨(dú)特的裝箱要求。在囊匣裝箱中，EPE襯墊可以有效避免震動(dòng)、碰撞、相對(duì)滑移等，從而很好地保護(hù)囊匣。具體裝箱過程是一層囊匣裝滿后，剩余的空隙處用EPE襯墊補(bǔ)滿，高度凹凸不平的層間用EPE襯墊墊平，每層重復(fù)直至木箱裝滿。在這一過程中，工人依靠人工經(jīng)驗(yàn)，多次重復(fù)搬運(yùn)試裝以找到合適的裝箱方案，并現(xiàn)場測(cè)量空隙，切割制作襯墊。重復(fù)的搬運(yùn)工作既不利于囊匣的保護(hù)，也浪費(fèi)了時(shí)間人力；現(xiàn)場測(cè)量切割襯墊不利于裝箱工作的連續(xù)性，無法保證時(shí)效；且裝載方案耗費(fèi)EPE襯墊多，囊匣裝載率不高。

2 模型建立

2.1 問題描述

已知囊匣數(shù)量為，長寬高分別為l,w, h（=1～），共種木箱可供選擇，長寬設(shè)定為高度為H（=1～）。尋找最優(yōu)的裝箱方案，選用合適的木箱，將個(gè)囊匣全部裝進(jìn)木箱中，使裝載時(shí)使用的EPE襯墊體積最小，囊匣的裝載率最高，并輸出裝箱與襯墊方案。

囊匣設(shè)計(jì)制作時(shí)綜合考慮了內(nèi)裝物、開口方式、取放等因素，因此在儲(chǔ)存運(yùn)輸時(shí)，不能倒置，僅可平放，即囊匣裝箱時(shí)有2種放置方向可供選擇，如圖1所示。

圖1 囊匣的2種放置方向

2.2 研究假設(shè)

基于現(xiàn)實(shí)裝箱條件，為了便于求解，本文做出如下假設(shè)：囊匣與木箱內(nèi)腔均為規(guī)則長方體；單個(gè)囊匣的長寬高均小于木箱的長寬高；囊匣擠壓產(chǎn)生的微小形變忽略不計(jì)；囊匣的質(zhì)量均勻，重心位于中下部[15]；囊匣僅可平放，不能翻轉(zhuǎn)，能水平旋轉(zhuǎn)90°；囊匣具有一定的承載力，可疊放，擺放層數(shù)不限。

2.3 目標(biāo)函數(shù)與約束條件

建立三維直角坐標(biāo)系，以-平面為底面，垂直于軸。平行于木箱長建立軸，平行于木箱寬建立軸，平行于木箱高建立軸。用參數(shù)0和1區(qū)別囊匣是否旋轉(zhuǎn)，囊匣的旋轉(zhuǎn)參數(shù)R為0時(shí)，代表囊匣的長平行于木箱長放置。當(dāng)旋轉(zhuǎn)參數(shù)R為1時(shí)，代表囊匣的長平行于木箱的寬放置。

1）大櫻桃秋季施肥有利于樹體養(yǎng)分儲(chǔ)備，對(duì)樹體抗寒、抗旱、抗病、抗衰老、抑制冒條等有明顯效果。應(yīng)重視秋季施肥，把握好施肥時(shí)間，為來年開花、結(jié)果、豐產(chǎn)打下基礎(chǔ)。一般在8—9月進(jìn)行早秋施基肥，施肥后當(dāng)年就能發(fā)揮肥效，增加樹體營養(yǎng)積累，有利于來年開花結(jié)果。施肥量應(yīng)占到全年施肥總量的70%以上。

如圖2所示，設(shè)置合適的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)記錄各層囊匣以及襯墊的位置，以第層為例，第個(gè)囊匣的最終放置坐標(biāo)為（a, b, c, d），其中（a, b）是囊匣左下角坐標(biāo)，（c, d）是囊匣右上角坐標(biāo)。對(duì)應(yīng)襯墊坐標(biāo)為（a, b, h, c, d, h），（a, b, h）為左下角坐標(biāo)，（c, d, h）為右上角坐標(biāo)，其中h為囊匣的高度，h表示第層最高的囊匣高度加上基礎(chǔ)的襯墊厚度。

圖2 囊匣與襯墊坐標(biāo)

確定約束條件如下：

c–a=l,d–b=w或c–a=w,d–b=l(2)

其中，式（1）約束了囊匣的左下角及右上角坐標(biāo)在木箱尺寸允許范圍之內(nèi)；式（2）～式（3）約束了囊匣僅可旋轉(zhuǎn)，不可倒置；式（4）～式（5）約束了旋轉(zhuǎn)參數(shù)為0時(shí)，囊匣的長平行于木箱長，旋轉(zhuǎn)參數(shù)為1時(shí)，囊匣的長平行于木箱寬；式（6）約束了囊匣的總裝載高度小于所選木箱的總高度。

3 啟發(fā)式算法設(shè)計(jì)

啟發(fā)式算法不能保證裝箱問題的最優(yōu)解，但是它能給出裝箱場景下一個(gè)合適的解。傳統(tǒng)啟發(fā)式算法可以求得問題的近似解而非最優(yōu)解，相比于精確算法，不再局限于求解小規(guī)模裝箱問題，其應(yīng)用范圍更廣。

3.1 求解策略

3.1.1 貪心策略

本文采用貪心策略，通過保留每步中最優(yōu)的結(jié)果，求得原問題的最優(yōu)解。分析裝箱要求與裝箱目標(biāo)，可知影響裝箱效果的關(guān)鍵要素是高度，本文將襯墊體積最小這一優(yōu)化目標(biāo)分解為2步進(jìn)行優(yōu)化求解。第1步優(yōu)化求解中假設(shè)木箱高度無限高，將囊匣裝箱，求得裝載高度最低的方案作為最優(yōu)解保留；第2步選用合適的木箱使得裝載率最大，將第1步最優(yōu)解方案中高度確定的各層囊匣分入各木箱中。第2步所選用木箱及第1步中各層的裝箱方案與襯墊方案即為整體方案的最優(yōu)解。

3.1.2 裝箱順序策略

裝箱序列即從1到的排列。基于現(xiàn)實(shí)裝箱經(jīng)驗(yàn)，在裝箱時(shí)先裝體積大的囊匣，后裝體積小的囊匣會(huì)更容易找到合適的裝箱方案。為了達(dá)到裝載高度最低、襯墊體積最小的要求，分析可知高度相差在較小范圍內(nèi)的囊匣放在同一層可以有效減小襯墊的體積。因此，本文對(duì)初始裝箱序列做出如下優(yōu)化設(shè)計(jì)：第1步對(duì)要裝入木箱的囊匣先按照高度進(jìn)行降序排列，高度相同則按照囊匣底面積降序排列；第2步將第1步生成的囊匣序列，以每10個(gè)囊匣為一組，按照底面積降序排列，生成初始裝箱序列。該設(shè)計(jì)可以使初始序列更合理，尋優(yōu)更高效。

3.2 模型求解

3.2.1 第1步優(yōu)化求解

模擬退火算法（Simulated Annealing，SA）是一種通用的優(yōu)化算法，其出發(fā)點(diǎn)是基于物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般的組合優(yōu)化問題之間的相似性。其中Metropolis準(zhǔn)則是SA算法收斂于全局最優(yōu)解的關(guān)鍵所在，Metropolis準(zhǔn)則以一定的概率接受非最優(yōu)解，這樣就使算法跳離局部最優(yōu)的陷阱。

在第1步優(yōu)化問題中，本文設(shè)計(jì)了模擬退火[16]結(jié)合最低水平線算法來求解裝箱高度最低的方案，將三維裝箱問題轉(zhuǎn)換為多層的二維裝箱問題。算法流程圖如圖3所示。

圖3 第1步優(yōu)化算法流程

3.2.2 第2步優(yōu)化求解

將第1步的最優(yōu)解中各層囊匣分別裝入各個(gè)木箱中使裝載率最大。大多數(shù)情況下最后一層剩余空間較大，為了避免這一層被放入底層或中間層，約束最后一層囊匣只能放入某個(gè)木箱的頂層。算法流程如圖4所示。其中，使用模擬退火算法求解單個(gè)木箱的最優(yōu)層序列，具體步驟為初始化參數(shù)，初始層序列為從1到，層高從高到低，對(duì)層序列做隨機(jī)擾動(dòng)，迭代計(jì)算出最優(yōu)層序列。

3.2.3 參數(shù)確定

模擬退火算法能得到較為合適且高效的排樣方案，但是得到合理的參數(shù)需要一定的時(shí)間和裝箱實(shí)驗(yàn)。模擬退火算法中，初始溫度越高，溫度衰減系數(shù)越接近于1，馬爾科夫鏈越長，模擬退火搜索越充分，越有可能找到全局的最優(yōu)解。相應(yīng)地，搜索時(shí)間也會(huì)越長。

囊匣數(shù)量不同，設(shè)定的參數(shù)也不同。采用定量對(duì)比研究法來確定第1步優(yōu)化求解中模擬退火算法的參數(shù)，綜合考慮計(jì)算時(shí)長與是否尋找到最優(yōu)解，參數(shù)確定如表1所示。

圖4 第2步優(yōu)化算法流程

表1 第1步優(yōu)化求解中參數(shù)

Tab.1 Parameters in the first step optimization solution

第2步優(yōu)化求解問題規(guī)模較小，計(jì)算較快，參數(shù)設(shè)置為初始溫度1為1 000 ℃，終止溫度2為1 ℃，降溫速率取值為0.9，馬爾科夫鏈長取值為200。

4 實(shí)例驗(yàn)證與分析

4.1 輸出結(jié)果與運(yùn)行

對(duì)程序運(yùn)行輸出結(jié)果進(jìn)行設(shè)計(jì)。為了提高裝箱效率，輸出方案簡潔明了，方便識(shí)別與裝箱。按照木箱一箱一圖，輸出各箱中各層的裝箱及對(duì)應(yīng)的襯墊方案。設(shè)計(jì)裝箱方案為二維圖形展示，每個(gè)長方形對(duì)應(yīng)一個(gè)囊匣，左下角輔以編號(hào)，便于指示裝箱；并根據(jù)不同的放置方向，用不同顏色線條加以區(qū)分，長平行于木箱長的囊匣用紅色線條表示，寬平行于木箱長的囊匣用藍(lán)色線條表示，有助于裝箱時(shí)擺放正確，提高裝箱效率。襯墊方案為三維效果，襯墊尺寸可直觀顯示，便于提前切割制作。

為驗(yàn)證囊匣三維裝箱算法的適用性和輸出效果，以200個(gè)囊匣裝箱為例進(jìn)行運(yùn)行試驗(yàn)。導(dǎo)入200個(gè)囊匣的長寬高數(shù)據(jù)，設(shè)定木箱長寬高，計(jì)算裝箱方案，運(yùn)行結(jié)果如圖5所示。圖5是木箱的使用數(shù)量，圖6是具體的裝箱方案與襯墊方案，表2為木箱尺寸選擇與最終裝箱高度。

圖5 200個(gè)囊匣的整體裝箱方案

圖6 200個(gè)囊匣的具體裝箱方案

表2 木箱選擇與裝箱高度

Tab.2 Selection of wooden cases and packing height

運(yùn)行試驗(yàn)證明，文中算法有較好的運(yùn)算能力與輸出效果。

4.2 對(duì)比試驗(yàn)

為了驗(yàn)證囊匣三維裝箱的優(yōu)化效果，文中選取了某公司20次歷史裝箱數(shù)據(jù)來進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，該公司木箱共有4種尺寸可選，如表3所示。

表3 可選木箱編號(hào)與尺寸

長寬為1 200 mm×1 000 mm，高度分別為600、1 200、1 000、2 000 mm，分別編號(hào)為1、2、3、4號(hào)箱。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4所示可知，本文該程序取得了較好的效果，實(shí)現(xiàn)了囊匣裝箱方案的優(yōu)化。如表4所示，為運(yùn)輸公司調(diào)研及具體試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表4 優(yōu)化結(jié)果與原數(shù)據(jù)的對(duì)比

Tab.4 Comparison between optimized results and original data

表4中，空間利用率指木箱中囊匣與襯墊體積之和占木箱體積的比率，襯墊節(jié)省率指用于墊平的EPE襯墊體積的節(jié)省率。分析表4中數(shù)據(jù)可知，該設(shè)計(jì)可以為囊匣裝箱推薦更合適的箱型，減少木箱的使用數(shù)量與體積，墊平用襯墊體積可減少7.21%，時(shí)間上節(jié)省約一半，證明該算法可以優(yōu)化囊匣裝箱。

5 結(jié)語

本文提出了新的層間墊平的三維囊匣裝箱問題，根據(jù)使用襯墊體積最小的優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計(jì)了基于貪心策略與裝箱順序策略的混合啟發(fā)式算法。將囊匣裝箱問題分解為2步進(jìn)行優(yōu)化，分析了目標(biāo)函數(shù)、裝箱約束等因素，建立算法流程，編寫程序求解出了合適的裝箱方案與襯墊方案，并對(duì)輸出效果進(jìn)行了改進(jìn)，解決了囊匣裝箱問題。工作人員可以按照襯墊方案提前制作襯墊，根據(jù)裝箱方案來擺放囊匣，保證了裝箱工作的連續(xù)性與時(shí)效性。實(shí)例運(yùn)行與對(duì)比驗(yàn)證證明，該算法計(jì)算出的裝箱方案較人工裝箱裝載率更高，耗費(fèi)襯墊減少，消耗時(shí)間短，更具經(jīng)濟(jì)性，有較好的運(yùn)算能力與輸出效果，可以使囊匣裝箱智能化，推動(dòng)了文物、藝術(shù)品領(lǐng)域的智能管理進(jìn)程。

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Optimal Design of 3D Packing for Capsule Boxes Based on Interlayer Cushion

LI Guozhi1a,b, LI Yingxin1a,b, LUO Bobo2, LIU Di1a,b, TAN Sike1a,b, LI Wenfeng1c*

(1. a. Key Laboratory of Functional Printing and Transport Packaging of China National Light Industry, b. National Demonstration Center for Experimental Light Chemistry Engineering Education, c. School of Art and Design, Shaanxi University of Science & Technology, Xi'an 710021, China; 2.Emperor Qinshihuang's Mausoleum Site Museum, Xi'an 710600, China)

The work aims to study the strongly heterogeneous three-dimensional packing problem with interlayer cushion, realize the rapid calculation of the packing and the cushion scheme of the capsule box to instruct the packing, so as to improve the packing rate and efficiency of the capsule box, this work. Based on the actual packing requirements of the capsule box, a two-step optimization heuristic algorithm based on greedy strategy and improved packing sequence strategy was designed to optimize the packing and cushion scheme with the goal of minimizing the volume of the cushion. And according to different placement directions, different output results were designed to instruct packing. Compared with the data before packing optimization, the experimental results showed that the packing scheme and the cushion scheme recommended by this algorithm could reduce the number and volume of wooden cases, reduce the volume of cushion by 7.21%, and save about half the packing time. The hybrid heuristic algorithm designed in this paper can find the optimal packing and cushion scheme for the capsule box packing problem, reduce the use of cushion, and improve the packing rate and efficiency.

capsule box; three-dimensional packing; cushion generation; greedy strategy; heuristic algorithm

U294.29；TB485.3

A

1001-3563(2024)07-0159-07

10.19554/j.cnki.1001-3563.2024.07.020

2023-08-22

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51575327）；陜西省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室及基地科研項(xiàng)目（16JS014）

通信作者