認識概率：從不確定性中找到規律性

文／顧大權 童先峰

本章包括“確定事件與隨機事件”“可能性的大小”“頻率與概率”三小節內容。在現實生活中有許許多多的事件，有些事件的發生是確定的，有些事件的發生是不確定的。不確定事件發生的可能性有大有小，可以從隨機事件發生的可能性大小去認識概率。通過大量的實例，我們也可以從頻率的穩定值的角度去理解概率。

一、體會事件發生的隨機性

在認識自然的過程中，人們總要對自然現象進行大量的觀測。其中，我們把確定發生的事件稱為確定事件，把不確定發生的事件稱為隨機事件。在確定事件中，有些事件我們事先知道它一定會發生，這樣的事件稱為必然事件；有些事件我們事先知道它一定不會發生，這樣的事件稱為不可能事件。確定事件包括必然事件和不可能事件。如“太陽每天從東方升起”“在標準大氣壓下把水加熱到100℃沸騰”是必然事件，“水中撈月”“同性電荷互相吸引”是不可能事件。隨機事件是我們事先無法確定它會不會發生的事件，如“買一注福利彩票中獎”“擲一枚硬幣正面向上”等。

二、感受事件發生的可能性

盡管我們事先無法確定隨機事件會不會發生，但是隨機事件發生的可能性有大有小。

例1如圖所示，在不透明盒子里共有20 個紅球和白球，這些球除顏色外都相同。

（1）將球攪勻，分別從每個盒子中摸一個球，摸到白球的可能性一樣大嗎？為什么？

（2）將盒子的序號按摸到白球的可能性從小到大的順序排列。

我們從這個問題中可以發現，在球的總數一樣的情況下，盒子中的白球越多，摸到白球的可能性越大；盒子中的白球越少，摸到白球的可能性越小。按照摸到白球的可能性從小到大排序為：（4）＜（3）＜（2）＜（1）。

一個隨機事件發生的可能性是由這個隨機事件自身決定的，是客觀存在的。盡管隨機事件的可能性大小不同，但隨機事件中蘊涵著一定的規律。隨機事件發生的可能性到底有多少，我們可以通過一個量來刻畫。如果將隨機事件發生的可能性大小的這個量用一個數值來表示的話，通常用0到1及其之間的數值表示。必然事件和不可能事件可以視為隨機事件的特例，必然事件發生的概率是1，不可能事件發生的概率是0，隨機事件發生的概率是0和1之間的一個數。

三、感悟概率與頻率的關系

我們將一個事件發生的可能性大小的數值稱為這個事件發生的概率。概率是隨機事件自身的屬性，反映這個隨機事件發生的可能性的大小。頻率是某一數據出現的次數與總次數的比值。在進行大量重復試驗時，事件發生的頻率會趨于穩定，接近于某一個常數，人們常把試驗穩定的頻率值作為概率的估計值。概率和頻率雖代表不同的含義，但它們之間是相互聯系、相互作用的。

例2某校籃球隊進行籃球投籃訓練，下表是某隊員投籃的統計結果：

根據上表可知該隊員一次投籃命中的概率大約是______。（精確到0.01）

從上表中的數據可以看出，在大量重復試驗后，命中率穩定在0.73附近，這個穩定的頻率值就是所求概率值，為0.73。

一般而言，在本章學習前，我們所接觸和研究的大多是確定的現象，對于不確定現象的規律知之甚少。大家通過本章的學習，可初步了解到不僅確定性現象是有規律、可以預知的，而且不確定現象也是有規律可循，可以用數學方法研究的，初步形成用科學的態度、辯證的思想去觀察、分析、研究客觀世界萬事萬物的態度，進而掌握這些隨機事件發生的規律，并利用這些規律指導決策，以達到趨利避害的目的。