有趣的“紅包”問題

文／江蘇省南通市通州區(qū)文山初級(jí)中學(xué) 吳佳豪

葛老師近期提供了一道思考題：過年了，小明面前有三個(gè)紅包，并且其中一個(gè)紅包有錢，另外兩個(gè)紅包是空的（具體哪個(gè)不知道）。小明隨機(jī)挑選了一個(gè)紅包沒有打開，同時(shí)剩下的兩個(gè)紅包自動(dòng)去掉一個(gè)沒有錢的，這時(shí)小明有一次交換剩下紅包的機(jī)會(huì)。請(qǐng)問小明應(yīng)不應(yīng)該選擇交換并說明理由。

剛開始看到這道題的時(shí)候，我想：題目是不是出錯(cuò)了？換不換不都一樣嗎？這題有什么意思？

由于這道題要求說明理由，而且剛剛的想法也沒有進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，于是我繼續(xù)思考。因?yàn)樾∶髯铋_始從三個(gè)紅包中隨機(jī)挑選到有錢和沒錢的紅包的可能性是不一樣的，既然如此，后面的是否交換紅包從邏輯上看，應(yīng)該也會(huì)受到最初是否選到有錢的紅包這個(gè)隨機(jī)事件的影響。那么，好像換與不換是不一樣的啊。

我想到的第一個(gè)解決方案是用頻率估計(jì)概率。我進(jìn)行的試驗(yàn)記錄結(jié)果如下：

當(dāng)?shù)谝淮蚊接绣X的紅包的時(shí)候，剩下的兩個(gè)紅包都是空的，所以此時(shí)交換是虧的；當(dāng)?shù)谝淮蚊娇盏募t包的時(shí)候，剩下的兩個(gè)紅包一個(gè)是空的，一個(gè)是有錢的，由于會(huì)自動(dòng)去掉沒有錢的紅包，所以此時(shí)交換是賺的。根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，小明應(yīng)該選擇交換。

在用這個(gè)方法得出結(jié)果后，我進(jìn)行了反思：用頻率估計(jì)概率的方法雖然可行，但是試驗(yàn)的次數(shù)要足夠多，有些耗時(shí)費(fèi)力。有沒有簡便一點(diǎn)的方法呢？

我想到的第二種解決方法是分類討論。我首先分別用空包1和空包2 來表示兩個(gè)空的紅包，那么以下3種情形都具有相等的可能性：

情形1：假設(shè)摸到的紅包是有錢的，交換紅包不劃算；

情形2：假設(shè)摸到的是空包1，交換紅包是劃算的；

情形3：假設(shè)摸到的是空包2，交換紅包是劃算的。

綜上，共有3 種等可能情形，3 次中有兩次交換是劃算的，所以小明應(yīng)該選擇交換。

通過思考，我得到了與直覺不同的答案。數(shù)學(xué)是一門極其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在思考問題時(shí)，我們應(yīng)該多從邏輯層面去分析思考，通過嚴(yán)格的證明來得到正確的答案。

教師點(diǎn)評(píng)

小吳同學(xué)對(duì)一道“紅包”問題進(jìn)行了深入思考，從直覺感知到數(shù)學(xué)建模，從而推理出正確的結(jié)果，感悟到數(shù)學(xué)的魅力。事實(shí)上，很多數(shù)學(xué)真理的發(fā)現(xiàn)，都有這樣的特點(diǎn)，往往會(huì)經(jīng)歷“直覺感知→數(shù)學(xué)抽象→數(shù)學(xué)建構(gòu)→推理證明→確認(rèn)性質(zhì)→數(shù)學(xué)運(yùn)用”的過程。同學(xué)們?cè)诮窈蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可以細(xì)細(xì)體會(huì)。