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——一節高三復習課的教學嘗試

? 四川省雙流中學 王保弟 杜江濤

1 教學內容分析

1.1 內容分析

本節課是由學生作業中的一道大題出發,追溯題目背景,是人教A版普通高中課程標準試驗教科書數學2-1(選修)第73頁A組第6題,第81頁B組第3題.

通過圓錐曲線知識的學習,發現解決解析幾何問題的通法——坐標法,偏重于相關量的數量關系的研究,由于代數運算復雜,對運算能力要求較高,往往使很多學生對解析幾何望而生畏.事實上,解析幾何問題的本質仍是幾何問題,若能充分把握解析幾何中圖形的特征,挖掘圖形的相應幾何性質,恰當地運用平面幾何的相關知識求解,往往能簡化運算,優化解題過程.

1.2 學情分析

本節課之前,學生在必修二第三章圓的知識的基礎上,學習了圓錐曲線,有一定的類比轉化與分析問題的能力,以及代數運算能力.學生思維活躍,求知欲強.但面對繁難的代數運算,學生難免會有畏難情緒,所以挖掘試題背后的有關幾何性質是關鍵.這需要熟練掌握一些常見的平面幾何圖形的性質,而此挖掘過程仍需要教師重點指導.通過“一題一課”微專題的形式,以點帶面,聚焦關鍵內容,幫助學生感悟數學思想方法,實現從“解題”到“解決問題”的轉變.

1.3 學習目標

(1)回顧三角形內角平分線定理,感受解圓錐曲線題目的方法,即坐標法和幾何法;

(2)利用不同的設點、設直線的方式解決圓錐曲線問題,探索并感悟外角平分線定理的妙用;

(3)在解決典例的過程中,總結解決問題的方法和技巧,并能用外角平分線性質快速得到變式問題的答案.

1.4 評價目標

(1)通過課前自測(要求學生自主完成),感受解析幾何通法(坐標法)與解析結合本質(幾何法).

(2)通過典例分析,探究不同的設點、設線方式帶來的不同解題方法,并通過幾何背景的挖掘感悟幾何法在解題中對計算的簡化作用.

(3)通過運算化簡,提升運算能力;通過挖掘幾何性質,體會數形結合的思想.

2 課堂實錄

環節1：課前自測,做好鋪墊.

師:老師在課前已經布置了學習任務,接下來通過投影儀一起分享大家的學習成果.

生4:由題意,得|F1M|=8,|F2M|=4.

又||AF1|-|AF2||=2a=6,所以|AF2|=6.

師:非常棒!同學們利用角平分線性質和雙曲線定義解得此題,感受了圓錐曲線問題可以一題多解,選擇不同方法,有不同的解題感悟.

設計意圖：設置課前自測環節,目的是幫助學生體會解析幾何問題的解決途徑即坐標法和幾何法,而本題多種解法中,以利用三角形內角平分線定理最為簡單,說明在解答解析幾何問題時要注意運用平面幾何知識,使問題獲得簡單解法,也為今天的學習作鋪墊.

環節2：對比方法,突破難點.

例題如圖1,已知拋物線C:y2=4x的焦點是F,準線為l,已知點P(9,6),若過點F的直線交拋物線于不同兩點A,B(均與點P不重合),直線PA,PB分別交l于點M,N,求證:MF⊥NF.

圖1

師:請同學們先嘗試解答,然后再分享解法.

(8分鐘后,大多數同學能用一種方法規范解答,用投影儀展示學生解法.)

當直線AB斜率存在時,設直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).

由韋達定理,得

①

師:請這位同學分享一下求解思路和過程.

生1:設直線的點斜式方程,得到向量數量積關于參數k的表達式,最后通過代數運算發現兩個向量的數量積為零,從而證得結論.

師:非常棒!還有其他同學愿意分享不同的解題方法嗎?

師:非常巧妙!這種方法優化了第一個同學的計算過程,還有同學愿意分享嗎?

生3:在拋物線y2=4x中,準線l:x=-1,焦點F(1,0).

師:非常好!這位同學與生2的不同點是利用數量積為零證明了結論,還有不同方法嗎?

對于lAP與lBP1,分別令x=-1,可得

要使MF⊥NF,則MQ2=FQ2,即

因為Q為MN的中點,QM=QN=QF,所以M,F,N在以Q為原心的圓上,故MF⊥NF.

生4:前三位同學通過數量積為零或斜率之積為-1證得結論,我通過三點共圓來證明.

師:這位同學思路很清晰,利用圓周角證明垂直,但美中不足的是忘記對斜率不存在這種特殊情況的討論了.

生5:老師,我還有一種不同的解法.

師:請分享一下你的解題思路.

生5:如圖2,設A,P在準線上的射影分別為A′,P′.

圖2

連接AA′,PP′,則AA′⊥l,PP′⊥l,于是AA′∥PP′.

易得△AMA′∽△PMP′.

由三角形外角平分線定理的逆定理,可得FM平分∠AFP的外角.連接PF,并延長交l于點G,可得FM平分∠AFG.

同理可得,FN平分∠BFG.

又∠AFG+∠BFG=180°,所以2(∠MFG+∠NFG)=180°,因此∠MFG+∠NFG=90°,即∠MFN=90°,故MF⊥NF.

師:非常厲害!這位同學所用思路與前4位同學有所不同,他從幾何圖形出發,利用幾何關系證得結論.利用數形結合的思想方法,簡化計算,優化解題過程.

師生:師生共同感悟總結.

思維導圖如圖3所示:

圖3

師:上述例題的求解過程表明,坐標法會導致圓錐曲線問題求解復雜,運算量較大.但是,通過深入探索和挖掘圓錐曲線的幾何性質,則能巧妙求解問題.由學生5的啟發得到下面結論,請同學們課后探究.

引理:若圓錐曲線C的離心率為e,焦點F所對應的準線為l,曲線C的弦AB所在的直線交準線l于點P;當點P在弦AB內時,FP平分∠AFB;當點P在弦AB外時,FP平分∠AFB的外角[1].

設計意圖：通過自主探究,學生分享交流,師生一起探究典例的解法,充分發揮學生的主觀能動性,體現學生的主體地位,引導學生從不同的角度認識問題,實現一題多解,培養學生發散思維的能力,提升學生分析問題、解決問題的能力,同時在學生分享過程中鍛煉他們的語言表達能力.

環節3：類比遷移,感悟思想.

根據以上條件,我們還可以研究哪些問題?寫下你想研究的問題并思考如何解決.

變式1已知點P(9,-6),求證:MF⊥NF.

變式2已知點P(6,3),求證:MF⊥NF.

變式3已知點P(0,0),求證:MF⊥NF.

變式4已知點P(x0,y0),求證:MF⊥NF.

變式5C:y2=2px(p>0),求證:MF⊥NF.

變式6以MN為直徑的圓,是否經過定點?若是,請找出定點;若不是,請說明理由.

設計意圖：設置變式訓練的目的,是讓學生現學現用,通過方法的選擇提升解題能力,促進學生對知識和方法的遷移,通過“一題多解”再到“多題一解”,使學生實現從解題到解決問題的提升.

環節4：深化拓展,形成模型.

推廣:已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點是F,準線為l,已知點P(x0,y0),若過點F的直線交拋物線于不同兩點A,B(均與點P不重合),直線PA,PB分別交l于M,N,求證:MF⊥NF.

師:我們用幾何畫板演示上述結論.

師:在拋物線中有這樣優美的平面幾何性質,那在橢圓、雙曲線中此結論是否也成立?請同學們課后探索.

設計意圖：通過例題教學,學生從不同的角度思考獲得不同的解法,也復習了不同的知識點,真是“橫看成嶺側成峰”.通過比較不同解法計算量的大小,發現解答這類問題的通法與妙法,為后續優化算法積累經驗.通過“一題多變”對某個問題進行多層次、多角度、多方位的探索.培養學生發散思維,是學生創新思維的必備前提.此題不僅鍛煉了學生用類比的方法進行思考和學習,而且使學生對解決問題的思路理解得更透徹.每問一變都層層遞進,步步深入,環環相扣的密切聯系.同樣可以從一種研究對象的結論出發,通過類比得出另一種研究對象的許多意想不到的結論.創造的喜悅難以想象.

環節5：歸納小結,課外拓展.

本課從一道解析幾何題目出發,探究并分享了各種不同的解題方法,最容易想到的是通法——設點、設線,但同樣是設線也有講究,不同的設法計算量有差異;利用平面幾何結論可獲得簡捷解法.

課后作業:(限于篇幅題目略去.)

3 教學反思

這節課以教師為主導、學生為主體、問題為主軸、練習為主線,以“一題一課”的形式,讓學生自主探究例題的解法,其中滲透了數形結合、化歸轉化、分類討論等數學思想,提升了學生解答圓錐曲線問題的能力.在專題復習中,實現了知識結構化、方法系統化、思想實質化[2].

在教學活動中,先讓學生獨立思考,再自主探究,體會方法,相互分享,給予學生充分的時間去探究、思考、表達,使學生經歷和體驗解決問題的全過程,感悟通法與妙法.通過一題多解、多題一解,實現“做一題,得一法,會一類,通一片”,實現從“解題”到“解決問題”.

但本節課仍然留有遺憾,為了讓學生更直觀地感受隨著點P的運動,結論依然沒有發生變化,我們都是用幾何法證得結論,并用幾何畫板演示結論,沒有充足的時間讓學生感受利用通法——坐標法來證明,后續還需通過坐標法提高學生的數學運算能力.

小結只強調了知識方面,對育人方面做得不到位,課后總結一首打油詩:

一題多解思維闊,學生主體來開拓,

一題多變問題活,定能擴展有收獲.

解析幾何形態多,開動腦筋去探索,

想要數學學得好,自我學習不能少!

如果能在課堂上這樣小結,文化氛圍更濃,教學效果和育人效果會更好,以后會不斷改進,自覺做到教書育人.