“三角函數(shù)的概念”教學實錄與思考

? 內(nèi)蒙古赤峰學院數(shù)學與計算機科學學院 譚 波 李婉瑜 周 惠 湯 獲

“三角函數(shù)的概念”是人教A版(2019年)必修第一冊第五章第二節(jié)的內(nèi)容.本節(jié)課的內(nèi)容起著承上啟下的作用,承接初中階段的銳角三角函數(shù)和高一階段第一章集合的內(nèi)容,為學生后續(xù)學習三角函數(shù)的恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等內(nèi)容作鋪墊,同時又滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想,培養(yǎng)學生的抽象能力、建模能力以及利用信息技術(shù)解決實際問題的能力.近期,筆者在內(nèi)蒙古赤峰市S中學見習,觀摩了A教師一節(jié)“三角函數(shù)的概念”課,現(xiàn)結(jié)合教學過程實錄提出一些思考.

1 教學過程

1.1 回顧舊知,概念引入

師:同學們,我們在初中用什么函數(shù)模型刻畫勻速直線運動、自由落體運動和拋物線運動?

生:一次函數(shù)和二次函數(shù).

師:在客觀世界中,許多運動有著循環(huán)往復、周而復始的規(guī)律,我們把這種規(guī)律稱為周期性.今天我們以圓周運動為例,學習周期性現(xiàn)象的函數(shù)模型.

1.2 理解感悟,概念形成

師:如圖1,圓上的點P以A為起點做逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)一周后,又回到了原來的位置,這體現(xiàn)了函數(shù)的什么性質(zhì)?

圖1

生:周期性.

師:點在運動時,影響其位置的因素有哪些?

生:角、圓的半徑和圓心的位置.

師:以點O為圓心,1為半徑畫弧形成的單位圓,圓上任意一點的位置僅與角度有關(guān).

師:要建立一種模型刻畫函數(shù)關(guān)系,點的位置要用什么表示?

生:實數(shù).

師:那下一步應該怎么做?

生:建立平面直角坐標系.

師:如圖2,以O(shè)為原點,OA為x軸的非負半軸,建立平面直角坐標系,則A(1,0).設(shè)點P的坐標為(x,y).

圖2

1.3 建構(gòu)課堂,師生探究

師:對于任意角,它的終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標是否唯一確定?(通過幾何畫板演示.)

師:通過演示發(fā)現(xiàn),當角變化時,交點的坐標也隨之變化.

師:對于任意角,都有唯一的值與之相對應.那么這種對應關(guān)系叫什么?

生:函數(shù).

師:初中我們學過銳角三角函數(shù),它是如何定義的呢?

圖3

探究2:如何定義任意角的三角函數(shù)?

設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y).

①把點P的縱坐標叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,即y=sinα;

②把點P的橫坐標叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即x=cosα;

生:不能.因為x≠0.

1.4 鞏固新知,課堂小結(jié)

師:對的,由于終邊相同,因此它們對應的三角函數(shù)值相同.這體現(xiàn)了三角函數(shù)的周期性.

生:設(shè)點坐標,過點P和P0,作x軸的垂線,利用相似三角形關(guān)系,可以得出比值.

師:我們寫出證明過程.

圖4

師:由習題及勾股定理可知,只要角終邊上任意一點的坐標已知,就可以求得該角的三角函數(shù)值.這是求三角函數(shù)值的另一種方法——“終邊定義法”.

2 思考

(1)創(chuàng)設(shè)問題情境,培養(yǎng)抽象思維

三角函數(shù)的概念涉及幾何與代數(shù)兩方面內(nèi)容,是本章的教學難點.部分學生缺乏數(shù)學抽象思維,針對這種情況,筆者建議采用情境教學法引入概念,通過創(chuàng)設(shè)生活情境,加深學生的學習體驗,將抽象的函數(shù)概念形象化,有助于達到事半功倍的教學效果.比如,在三角函數(shù)概念引入前可創(chuàng)設(shè)問題情境:“同學們在日常生活中坐過摩天輪嗎?”(通過PPT展示倫敦眼的圖片)“摩天輪在轉(zhuǎn)動的過程中,座椅離地面的高度會變化,那么如何描述游客所在的位置?”通過這些情境的創(chuàng)設(shè),有助于學生更好地理解三角函數(shù)的概念.

(2)引入數(shù)學文化,拓展學生視野

數(shù)學文化應融入數(shù)學教學活動.在日常教學活動中,教師應有意識地結(jié)合教學內(nèi)容滲適相應的數(shù)學文化,引導學生了解數(shù)學的發(fā)展歷程,向?qū)W生闡述學習三角函數(shù)的必要性,讓學生更容易掌握三角函數(shù)的概念.比如,在引出三角函數(shù)的概念后,教師可向?qū)W生介紹一些相關(guān)數(shù)學史:公元6世紀,印度數(shù)學家阿耶波多使用了“半弦”和“余角的正弦”,我們現(xiàn)今學習的“正弦”和“余弦”就源于此;古代阿拉伯天文學家使用“橫影”和“豎影”,現(xiàn)今的“余切”和“正切”即源于此.三角函數(shù)數(shù)學史的引入,有利于學生了解三角函數(shù)的發(fā)展歷程.

(3)注重深度學習,組織概念教學