基于數學核心素養的高中數學概念教學
——以“函數單調性”概念教學為例

? 浙江省紹興市上虞區城南中學 方鎮軍

數學概念課是最重要的,也是最難上的.之所以說數學概念課重要,是因為數學概念是構成數學知識體系的基本要素,是學好數學的基礎;之所以說數學概念課難上,是因為數學概念具有高度的抽象性,不易于理解和接受.在傳統教學中,概念教學以教師講授為主,教師講得津津有味,學生卻感覺索然無味,學生對概念的理解停留在淺層的認知上,直接影響對數學內容的后續學習.因此,在概念課教學中,教師要改變以往單調枯燥的教學方法,重視學生主體性的激發,讓學生主動參與到概念學習中來,通過自主探究和合作交流加深對數學概念的理解.教師要認真研究教學內容、認真研究學生,基于學生現有認知水平創設有效的數學活動,引導學生親歷概念的生成過程,在加深概念理解的同時,潛移默化地提高學生的數學學科素養.筆者以單調性概念教學為例,談談對概念教學的一點粗淺認識,若有不足,請指正.

1 教學實錄

1.1 創設情境,引入課題

師:圖1是某市某天24小時內氣溫變化曲線圖.觀察圖1,說說你的發現.

圖1

教師引導學生觀察,啟發學生思考,捕捉有價值的信息.幾分鐘后,學生有了許多發現.

生1:結合圖1可知當天的最高氣溫、最低氣溫.

生2:還能知道在某時刻的溫度.(生2補充道)

生3:還能看出溫度的變化趨勢,如4～14時,溫度逐漸升高;14～24時,溫度逐漸下降.

師:大家都說得非常好.生活中,我們要學會用數學的眼光去觀察和了解一些數據的變化規律,讓數學更好地服務于生活.在實際生活中,你還了解其他的數據變化情況嗎?

教師預留時間讓學生思考、聯想.

生4:降雨量曲線圖.我們可以根據最近幾年的降雨情況,預估當年的降雨量.

生5:歷年出生人口統計表.我們國家可以根據相應數據來完善人口發展戰略和政策體系.

生6:股票價格.

…………

師:如果從函數觀點來刻畫,你會如何刻畫呢?

生7:隨著自變量的變化,函數值也隨之變化.

師:自變量變化時,函數值是變大還是變小,稱為函數的單調性,這是我們本課重點研究的內容.對于函數的單調性我們并不陌生,在初中階段就有了一定的認識,不過在初中階段并沒有給出嚴格的定義,今天我們重點研究函數單調性的嚴格定義.

設計意圖：從學生熟悉的生活情境出發,讓學生體會一個量隨著另一個量的變化而變大或變小,自然引出本課研究的主題.此環節,教師鼓勵學生列舉一些其他生活實例,以此豐富學生的感性認識,激發學生數學學習興趣和探索新知的熱情.

1.2 借助直觀,豐富認知

師:分別畫出如下函數圖象,并說一說自變量變化時,函數值的變化規律.(教師PPT出示函數.)

教師預留時間讓學生動手畫、開口說,通過交流讓學生體會函數單調性是對于某個區間而言的,引導學生提煉概念的本質屬性,培養學生數學抽象素養.

師:結合以上分析,請大家談談對增函數和減函數的理解.

(教師預留時間讓學生思考并交流,然后點名讓學生說說自己的理解.)

生8:對于函數f(x),在某個區間內,若y隨著自變量x的增大而增大,則函數f(x)在該區間上為增函數;反之,若y隨著自變量x的增大而減小,則函數f(x)在該區間上為減函數.

設計意圖：基于學生已有知識和經驗創設數學實踐活動,讓學生通過動手操作直觀感知函數單調性,激發學生學習興趣.同時在此過程中,充分發揮學生的主體價值,鼓勵學生主動參與數學實踐活動,提升學生數學學習能力和數學素養.

1.3 歸納概括,形成概念

圖2

生9:似乎單看還不行,找不到確切臨界值,需要結合解析式進一步分析.

設計意圖：結合具體實例讓學生體會,函數圖象雖然直觀,但是不夠嚴謹,必須結合函數解析式,同時體會研究函數單調性的嚴格定義的必要性,以此讓學生主動參與新知的探索中.

師:你能從函數解析式的角度證明f(x)=x2在[0,+∞)上為增函數嗎?

生10:在[0,+∞)上任意取兩個數,如取3和4,顯然32<42,所以說f(x)=x2在[0,+∞)上為增函數.

生11:取兩個值有點少,可以多取幾組值,若通過多組值驗證均能滿足,則可以說明f(x)=x2在[0,+∞)上為增函數.

師:是嗎?[0,+∞)區間內有無數個x,能否將所有x都取完呢?取特殊值法來驗證真的行得通嗎?

師:非常好,這樣化特殊為一般,證明了以上問題.

設計意圖：通過以上探究過程,學生體會在給定區間內任意取兩個數x1,x2的重要性.同時,通過經歷由特殊到一般的探究,學生對單調性的認知由感性上升到理性,為接下來抽象函數單調性嚴格的定義做鋪墊.

師:結合以上探究過程,你能給增函數下定義嗎?

在教師的啟發下,學生主動思考、積極交流,得出增函數的嚴格定義.在此基礎上,引導學生類比增函數的嚴格定義,給出減函數的嚴格定義.定義給出后,教師沒有急于給出具體練習幫助學生鞏固、強化,而是引導學生對概念進行深度辨析,由此加深對函數單調性的理解.在教師的指導下,學生明白:(1)單調性是相對某個區間而言的,是函數的局部性質,若拋開相應區間,單調性也就無從談起;(2)并不是所有函數都有單調區間,如常函數;(3)若函數在定義域內兩個區間A,B上都是增(減)函數,一般不可以說該函數在A∪B上是增(減)函數.

設計意圖：教學中,教師提供機會讓學生由特殊到一般歸納單調性的定義,以此培養歸納概括能力,提升數學抽象素養.生成概念后,教師預留時間讓學生對概念辨析,以此加深概念的理解,從而為后期的應用打下堅實的基礎.

1.4 學以致用,理解概念

例1下列說法是否正確?說說你的理由.

(1)設函數f(x)的定義域為[a,+∞),對任意x>a,都有f(x)>f(a),則f(x)在區間[a,+∞)上為增函數;

設計意圖：巧借實例引導學生進行概念辨析,以此進一步完善和加深對函數單調性的理解.

1.5 課堂練習,課堂小結(略)

2 教學思考

2.1 關注生成過程

單調性概念是一個比較抽象的概念,若直接將概念呈現出來讓學生識記,學生很難對單調性的概念形成深刻的理解,進而影響學習效果.因此,在概念教學中,教師應重視呈現概念的生成過程,創造機會讓學生去探索、去抽象、去感悟,以此讓學生全面且深刻地理解概念.

2.2 落實核心素養

數學核心素養的形成是一個長期的過程,它是無法依賴于教師的講授達成的,而是需要學生主動參與課堂實踐活動中,通過經歷思考、探索、感悟等數學活動,不斷積累活動經驗,培養可持續學習的必備品格和關鍵能力,進而提升數學學科素養.

總之,在高中數學概念教學中,教師切勿急于求成,應注重概念形成過程,通過創設教學情境誘發學生思考與探究,讓學生理解概念本質,有效提升概念教學質量,發展學生的學習力,落實數學學科素養.