抽象函數周期性學習的“四境界”

? 安徽省合肥市第十一中學 詹步創

抽象函數問題是近年來高考命題的熱點,因為它既能反映數學的本質特征,又能體現新課標對數學抽象和邏輯推理等核心素養考查的要求.在對抽象函數性質的考查中,特別是周期性問題比較隱蔽,很難把握,在學習中不少學生只見樹木,不見森林,很有畏難情緒,甚至部分教師在教學中也是蜻蜓點水,淺嘗輒止.本文中將周期性的深度學習分為“四個境界”,層層遞進,結合近年來高考試題對此進行剖析,供讀者參考.

1 境界一:由周期性的定義及變式推出周期性

定義:對于f(x)定義域內的每一個x,都存在非零常數T,使得f(x+T)=f(x)恒成立,則稱函數f(x)具有周期性,T叫做f(x)的一個周期,則kT(k∈Z,k≠0)也是f(x)的周期,所有周期中的最小正數叫f(x)的最小正周期.

變式設a是非零常數,若對于函數y=f(x)定義域內的任一自變量x有下列條件之一成立,則函數y=f(x)是周期函數,且2|a|是它的一個周期.

A.-3 B.-2 C.0 D.1

分析：本題考查數學抽象、數學運算和邏輯推理等核心素養.該題的關鍵是通過題目所給條件得出相應的等式,進而對等式迭代得出函數的周期性,靈活賦值及掌握變式是解決此類問題的關鍵.x,y是兩個未知量,對x,y其中一個進行賦值,令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x),用“x+1”代換“x”得f(x+2)+f(x)=f(x+1),兩式聯立,求出周期性.

2 境界二:由函數的奇偶性、對稱性推出周期性

解決已知奇偶性和對稱性推出周期性的問題時,首先需要掌握對稱性的相關知識,可類比正弦函數、余弦函數.而對稱性包括直線對稱和點對稱,尤其是函數圖象關于點對稱的問題處理至關重要.

注：f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x).

注：f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=-f(2a+x).

例2已知函數f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,則( ).(B)

C.f(2)=0 D.f(4)=0

分析：若f(x+a)為奇函數,則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱;若f(x+a)為偶函數,則f(x)的圖象關于直線x=a對稱.函數f(x+a)的奇偶性問題等價于f(x)的對稱性問題,該題的本質是f(x)的“一點、一直線”對稱性問題.

結論1：若f(x)的圖象同時關于直線x=a與x=b對稱,則f(x)為周期函數,且T=2|a-b|(a≠b).

結論2：若f(x)的圖象關于點(a,0)與點(b,0)中心對稱,則f(x)為周期函數,且T=2|a-b|(a≠b).

結論3：若f(x)的圖象關于點(a,0)中心對稱,且關于直線x=b軸對稱,則f(x)為周期函數,且T=4|a-b|(a≠b).

結論4：若f(x)的圖象關于點(a,c)中心對稱,關于直線x=b軸對稱,則f(x)為周期函數,且T=4|a-b|(a≠b).

結論5：若f(x)是奇函數,且圖象關于x=a軸對稱,則f(x)是周期函數,周期為4|a|.

結論6：若f(x)是偶函數,且圖象關于x=a軸對稱,則f(x)是周期函數,周期為2|a|.

結論7：若f(x)是奇函數,且圖象關于點(a,0)對稱,則f(x)是周期函數,周期為2|a|.

結論8：若f(x)是偶函數,且圖象關于點(a,0)對稱,則f(x)是周期函數,周期為4|a|.

注：結論3可以理解為是結論4的推論,結論5～8可以理解為是結論1～3的推論.

3 境界三:由原函數與導函數的對稱性關系推出周期性

原函數與導函數的圖象有著密切的聯系,導函數圖象不僅可以反映原函數的變化率和單調性,還可以描述它們的對稱性關系.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

拓展:設函數f(x)及其導函數f′(x)的定義域均為R,則有以下結論成立.

結論9：若f(x)的圖象關于直線x=a軸對稱,則f′(x)的圖象關于點(a,0)中心對稱.

結論10：若f(x)的圖象關于點(a,0)中心對稱,則f′(x)的圖象關于直線x=a軸對稱.

結論11：若f′(x)的圖象關于直線x=a軸對稱,則f(x)的圖象關于點(a,f(a))中心對稱.

結論12：若f′(x)的圖象關于點(a,0)中心對稱,則f(x)的圖象關于直線x=a軸對稱.

注：熟練掌握原函數與導函數對稱性之間的關系是有利于解題的.

4 境界四:構造三角函數模型推出周期性

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

分析：本題從函數f(x)的角度考慮較為繁瑣,由于題目所給的條件中,函數g(x)的相關要素較多,可以考慮將兩個等式中的f(x)消去,得到g(x)的表達式,借助于g(x)的對稱性求得函數g(x)的周期,再構造三角函數解決問題.

5 總結

周期性的學習可以劃分為四個境界,每個境界都有其獨特的特點和層次.這些境界層層遞進,幫助學生逐步理解和掌握周期性的概念和性質.

在境界一中,學生需要理解周期性的基本定義,并學會通過變式推導出周期性.周期性指的是函數在一定規律下重復出現的性質.學生應該能夠判斷一個函數是否具有周期性,并且能夠找到該函數的周期.通過學習境界一,學生可以建立對周期性的初步認識.

境界二的重點是由函數的奇偶性和對稱性如何推出周期性.奇偶性和對稱性是函數的重要特征,通過分析函數的奇偶性和對稱性,可以判斷函數是否具有周期性.例如,如果一個函數是偶函數,則它具有關于y軸的對稱性,從而可以推斷它是周期性函數.學生需要學會運用奇偶性和對稱性的概念,以及相關的性質和定理,來判斷函數的周期性.

境界三涉及由原函數與導函數之間的對稱性關系如何推出周期性.原函數與導函數之間存在一定的對稱性關系,通過研究這種對稱性關系,可以進一步推導函數的周期性.例如,如果一個函數的導函數具有某種對稱性,那么可以推斷該函數具有相應的周期性.學生需要深入了解原函數和導函數之間的關系,以及如何利用這種關系來判斷周期性.

在境界四中,學生將學習如何通過構造三角函數模型來推出周期性.三角函數是一類常見的周期函數,通過構造三角函數模型,可以更直觀地描述和理解抽象函數的周期性特征.學生需要學會選擇適當的三角函數,調整其參數和變量,以構造出符合要求的周期函數模型.這樣的學習可以幫助學生深入理解周期性的本質,并提高解決周期性問題的能力.

綜上所述,上述四個境界層層遞進,每個境界都有其獨特的特點和層次.通過逐步深入學習,學生可以全面理解抽象函數的周期性,并培養數學建模和解決實際問題的能力.這種學習方法不僅有助于應試考試,還能夠為學生的數學學習打下堅實的基礎.因此,學生應該注重在每個境界上的學習,并逐步提升對周期性問題的理解和應用能力.