借助“一題多解”,倡導(dǎo)“一題多變”
——一道向量試題的探究

? 江蘇省泰興市第二高級中學(xué) 李 明

作為高中數(shù)學(xué)中的一個重要知識點與基本解題工具,平面向量憑借自身同時兼?zhèn)洹皵?shù)”的基本屬性與“形”的結(jié)構(gòu)特征這一內(nèi)涵,成為高中數(shù)學(xué)中一道特殊的亮麗風(fēng)景線.

在實際數(shù)學(xué)試題的命制與解題過程中,往往可以從“數(shù)”與“形”這兩個不同的視角加以切入與應(yīng)用,豐富問題的內(nèi)涵與實質(zhì),也為問題的解決提供更加多樣變化的視角,體現(xiàn)創(chuàng)新性與應(yīng)用性.

1 問題呈現(xiàn)

問題已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

本題通過三個平面向量之間的關(guān)系加以合理創(chuàng)設(shè),結(jié)合其中一個向量的模以及這三個向量之間的數(shù)量積,合理構(gòu)建這三個平面向量之間的關(guān)系,得以確定其中兩個向量線性關(guān)系的模的最值問題.主要考查平面向量的模、數(shù)量積等基礎(chǔ)知識,運算求解等能力,數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想,體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性等,導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.

波利亞曾說:“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.”抓住平面向量的內(nèi)涵與實質(zhì),結(jié)合具體問題,從平面向量的“數(shù)”與“形”這兩個不同的視角來切入,通過代數(shù)運算或幾何直觀等方面來合理數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等.

2 問題破解

2.1 幾何思維

方法1：幾何意義法.

圖1

解后反思：根據(jù)平面向量“形”的幾何特征,結(jié)合平面向量的幾何內(nèi)涵或幾何意義,從“形”的視角切入,通過數(shù)形結(jié)合加以直觀想象,從幾何特征層面來研究對應(yīng)的問題.這里結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義,從射影、垂直等視角來直觀處理,利用圖形直觀,結(jié)合“動”態(tài)變化規(guī)律來解決“靜”態(tài)的最值問題.

2.2 代數(shù)思維

方法2：坐標(biāo)法1.

解析：在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)向量a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),如圖2所示.因為a·b=1,a·c=-1,b·c=0,所以x1=1,x2=-1,x1x2+y1y2=0,則y1y2=1.

圖2

方法3：坐標(biāo)法2.

因為a·b=1,a·c=-1,所以mcosα=1,-nsinα=-1,即mcosα=1,nsinα=1.

解后反思：根據(jù)平面向量的“數(shù)”的基本屬性,通過平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,合理引入平面向量的坐標(biāo),利用平面向量中的相關(guān)要素,轉(zhuǎn)化為涉及坐標(biāo)的函數(shù)、方程或不等式等,進而從代數(shù)視角進行數(shù)學(xué)運算與邏輯推理.這里通過平面向量所對應(yīng)的坐標(biāo)的構(gòu)建,利用題設(shè)條件確定對應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式,結(jié)合基本不等式的放縮、三角函數(shù)的應(yīng)用等來確定與應(yīng)用.

2.3 三角函數(shù)思維

方法4：基本不等式法.

方法5：三角函數(shù)法.

解后反思：根據(jù)平面向量的“數(shù)”與“形”的融合與應(yīng)用,引入向量的模或夾角等相關(guān)幾何量,將向量問題轉(zhuǎn)化為與向量的夾角等相關(guān)的三角函數(shù)問題,在解決一些相關(guān)的最值問題或取值范圍問題時經(jīng)常用到.這里從不同向量的夾角設(shè)置或從整體性思維設(shè)置向量的夾角等不同方式加以創(chuàng)設(shè),轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的三角關(guān)系式,通過三角恒等變換與應(yīng)用,結(jié)合基本不等式或三角函數(shù)等來放縮處理.

3 變式拓展

契合以上數(shù)學(xué)問題的思維視角的“一題多解”,深挖問題的內(nèi)涵與本質(zhì),合理歸納總結(jié),創(chuàng)新應(yīng)用提升,合理拓展變式與應(yīng)用,全面實現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等方面的提升.

3.1 低階變式

降低題目難度,簡化推理過程與數(shù)學(xué)運算.

3.2 同階變式

保持題目條件,變換求解視角.

變式3已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).(C)

3.3 高階變式

提升題目難度,深化推理過程與數(shù)學(xué)運算.

變式4已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,a·b=b·c=1,a·c=2,則|a+b+c|的最小值為______.(4)

4 教學(xué)啟示

4.1 “數(shù)”“形”結(jié)合,開拓思維

平面向量集“數(shù)”“形”于一體,是“數(shù)”與“形”巧妙融合的和諧統(tǒng)一體,更是溝通代數(shù)與幾何的一種有效解題工具.在實際應(yīng)用過程中,可以從平面向量“數(shù)”的視角切入,合理滲透函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式等“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì);也可以從平面向量“形”的視角切入,合理融入平面幾何、平面解析幾何等“形”的幾何內(nèi)涵.從“數(shù)”與“形”這兩個層面展開,真正實現(xiàn)技巧策略的應(yīng)用與核心素養(yǎng)的養(yǎng)成這二者之間的和諧與統(tǒng)一.

4.2 發(fā)散思維,“一題多得”

借助“一題多解”進行數(shù)學(xué)思維的鍛煉與提升,可以促進學(xué)生更加系統(tǒng)、全面地理解并掌握對應(yīng)的數(shù)學(xué)知識與解題方法,并在此基礎(chǔ)上不斷提升數(shù)學(xué)問題的綜合性、靈活性與創(chuàng)新性,巧妙深入探索,實現(xiàn)“一題多變”“一題多用”“一題多得”的良好效果,拓寬并加強數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力等,舉一反三,觸類旁通.