“動”“靜”結合,“形”“數”轉化
——對一道解析幾何題的探究

? 江蘇省海門中學 蒯 龍

平面解析幾何中的取值范圍問題,是高考數學試卷中一個熟悉的“面孔”,難度中等.此類問題可以綜合點、直線、圓、圓錐曲線等相關元素,合理交匯其他相關知識,形式新穎,背景生動,“動”“靜”結合,融合度高,可以出現在選擇題或填空題中,也可以出現在解答題中,變化多端,形式各樣,能很好考查學生的數學知識、數學思想方法與數學能力,充分體現試題的選拔性與區分度,備受各級各類考試命題者的青睞.

1 問題呈現

此題以平面解析幾何為問題背景,通過點的坐標、圓的方程的確定,結合平面向量的線性關系式來巧妙設置,合理融合了平面幾何、平面解析幾何、平面向量、不等式等相關知識,創新綜合與巧妙應用.

結合選擇題的特性以及問題的背景,可以考慮從平面幾何思維、解析幾何思維以及特殊思維等不同角度切入,合理構建,巧妙轉化,“動”中取“靜”,“形”與“數”轉化,實現問題的分析、處理與破解.

2 問題破解

思維視角一：平面幾何思維.

方法1：分類討論法.

圖1

在Rt△PQC中,根據勾股定理,可得

|PQ|2=52-r2=25-r2.

由切割線定理,可得

|PQ|2=|PA||PB|=2t×3t=6t2.

所以|PQ|2=25-r2=6t2.

結合t≤2r,可得25-r2=6t2≤6×4r2,解得r≥1,所以1≤r<5.

綜上分析,可知r的取值范圍是[1,5).故選:C.

點評：通過平面幾何圖形的直觀性,分類討論點P的位置,將問題轉化為“過圓C外一點P作一直線與圓C相交于不同的兩點A,B(點A在線段PB上),且滿足|PA|=2|AB|”,結合圓的切割線定理構建關系式,借助圓的弦長性質建立不等式,從而得以確定圓的半徑的取值范圍.借助平面幾何圖形的直觀,以及平面幾何的相關知識來綜合與應用;借助平面幾何圖形的直觀,利用“動點”的變化情況與解析幾何中的“數”“形”互化,實現利用“靜態”思維確定參數的取值.

方法2：割線定理法.

所以r的取值范圍是[1,5).故選:C.

思維視角二：解析幾何思維.

方法3：解析幾何法.

所以r的取值范圍是[1,5).故選:C.

點評：根據平面解析幾何背景,設出點A的坐標,結合平面向量的坐標表示與運算確定點B的坐標,利用兩點A,B均在圓C上構建滿足條件的方程,結合恒等變形,將問題轉化為“相關兩圓有交點”的問題,利用兩圓相交(此時包括內切與外切)的位置關系構建不等式,進而確定圓的半徑的取值范圍.借助平面解析幾何的坐標運算,以數學運算代替推理,進而結合相關知識加以分析與應用.抓住平面解析幾何中“數”的特征來處理“形”的特征,合理動靜結合與巧妙轉化.

思維視角三：特殊思維.

方法4：排除法.

故選:C.

點評：抓住條件確定點P在圓C外,結合弦AB恰為圓C的直徑時確定對應的半徑r的值,結合選項加以合理排除,再利用r→0時所對應的平面向量的線性關系式是否成立進一步加以排除,從而確定正確答案.排除法在破解選擇題時有一定的優勢,可以結合一些特殊情況加以合理排除,只是難以正確求解滿足條件的具體值.

3 變式拓展

探究2：保留題目中平面解析幾何的創新情境,進一步改變平面向量線性關系式的形式,由原來的“點P在圓外”變為“點P在圓內”,從另一角度來考查相關的知識點,得到以下對應的變式問題.

A.(0,15) B.(10,15)

4 教學啟示

4.1 借助“平幾”直觀,實現“解幾”運算

在解決一些含有平面幾何圖形或性質的解析幾何問題時,要充分挖掘平面幾何圖形的直觀性與幾何性質,借助平面幾何圖形的性質,融合直觀性,進而多一些幾何直觀,少一些代數運算,有效實現“形”與“數”有機結合,合理迅速地獲得解題切入點,減少解析幾何問題中的運算量,有效拓展解題思路,簡化思維步驟,優化解題過程.

4.2 “動”“靜”結合,“形”“數”轉化

破解平面解析幾何中的定值、最值或取值范圍等相關問題時,合理通過點、直線、圓等元素的變化運動,“動”中取“靜”,確定相關定值、最值或取值范圍等的位置點,結合“形”與“數”的轉化,從相關幾何元素中抽象出數量關系,結合關系式或不等式的建立有效處理與破解,從而實現問題的解決與應用.