巧用分段放縮法證明函數不等式

? 廣東省廣州市華南師范大學附屬中學 周建鋒

1 問題的提出

函數不等式的證明一直是中學數學中的一個熱點,證明函數不等式,可以將其轉化為求函數最值的問題,通過求導,劃分單調區間,找出最值．但新的高考改革越來越關注學生的數學核心素養,對學生分析問題、解決問題的能力提出了更高的要求,因此建立在通性通法基礎上的應變能力尤為重要．

放縮法作為一種重要的證明不等式的方法被廣泛應用,包括尋找中間常量、切線放縮、割線放縮、利用泰勒展開式放縮等．放縮法最大的難點在于放縮的尺度,因為放縮法的理論基礎是不等式的傳遞性,如a>b,b>c?a>c．這是一條“單行道”,一旦尺度過大 “放過頭”,如a>b,bc．此時在放縮法證明中結合分段放縮,將會起到很好的效果．目前分段放縮法證明函數不等式的研究較少,文[1]用分段放縮證明了一個三角形不等式,文[2]用分段放縮證明了一個數列不等式,文[3]用分段放縮證明了一個含絕對值的函數不等式．筆者經過研究,通過分段放縮法與切線放縮、割線放縮等的結合,可將分段放縮法更廣泛地應用于多種類型的函數不等式的證明之中．

2 分段放縮法的原理

將分段放縮的策略運用到函數不等式的證明中,在區間(a,b)上證明形如f(x)≥g(x)的不等式,有時可以通過恒等變形,構造出等價的函數不等式F(x)≥G(x),且F(x)≥m(x)(m(x)也可以是常數),M(x)≥G(x)(M(x)也可以是常數),若有m(x)≥M(x),則F(x)≥G(x),故f(x)≥g(x)成立．但在區間(a,b)上不一定能滿足m(x)≥M(x),此時將(a,b)劃分為若干個子區間(a1,a2]∪(a2,a3]∪……∪(an,an+1)(其中a1=a,an+1=b),在每一個子區間(ak,ak+1](k=1,2,……,n,k=n時區間為開區間)上有F(x)≥mk(x)≥Mk(x)≥G(x),則在(a,b)上必有F(x)≥G(x),即f(x)≥g(x)．

分段放縮的優點在于通過縮小區間,把放縮的尺度縮小,可以很好地避免“放過頭”的問題．在實施過程中,尋找子區間的分界點是關鍵．

3 分段放縮法的應用

3.1 在尋找中間常量中采用分段放縮

(1)求n的值;

分析：(1)過程略,答案為n=-1．

當02時,h′(x)>0,h(x)單調遞增.

這條路徑是否無法證明呢?重新反思,能否把區間(0,+∞)進行分段,從而解決放縮過度的問題呢?

(1)首先注意到h(x)>0,所以當0

3.2 在切線放縮證明中采用分段放縮

仍以例1為例,證明ex-3>x(lnx-1)．

分析：如圖1,由圖象可以預判,y=ex-3圖象上任一點的切線均不可能全在y=x(lnx-1)的圖象上方,所以不可能在(0,+∞)上對y=ex-3運用切線放縮．

圖1

綜上可知,ex-3>x(lnx-1)．

反思：與第一種證法不同,這種證法利用切線或泰勒展開式,對指數函數進行適當放縮,但仍會遇到在整個區間(0,+∞)上不能直接證明的情況．利用分段放縮,在不同子區間上選用不同的放縮方法,提高了證明的靈活度．

3.3 在割線放縮證明中采用分段放縮

所以f′(x)<0.

4 結束語

數學的樂趣在于不斷探索,推陳出新．在證明某些函數不等式(如指數函數、對數函數與三角函數中至少兩類混雜在一起的函數不等式)時,直接用求導的方法證明往往比較困難,通常考慮利用放縮法證明．而分段放縮法可以更精確地解決放縮尺度的問題,在需要運用放縮法的時候不妨結合分段放縮法,這樣易于攻破難點,體會數學的美妙,在數學的世界里快樂地翱翔!