基于統(tǒng)計(jì)知識,高三復(fù)習(xí)建議

? 江蘇省海門中學(xué) 季佳雯

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中多次出現(xiàn)“情境”一詞,《中國高考評價(jià)體系》也規(guī)定了高考的考查載體——情境,并以此承載考查內(nèi)容,實(shí)現(xiàn)考查要求.數(shù)學(xué)情境是高考評價(jià)體系中最重要的創(chuàng)新之一,是實(shí)現(xiàn)“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”的考查目標(biāo)的載體.數(shù)學(xué)試題情境一般取材于學(xué)生生活中的真實(shí)問題,貼近學(xué)生實(shí)際,具有現(xiàn)實(shí)意義,具備研究價(jià)值.

對統(tǒng)計(jì)知識(包括必修第二冊第九章“統(tǒng)計(jì)”、選擇性必修第三冊第八章“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析”這兩個(gè)部分)的考查,正是依托情境而設(shè)置的基本考點(diǎn)之一,成為考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,培養(yǎng)學(xué)生理性思維方式,提高學(xué)生分析、解決問題能力的一個(gè)重要載體.鑒于此,結(jié)合統(tǒng)計(jì)知識的基本特點(diǎn),建議高三復(fù)習(xí)備考中應(yīng)注意以下幾點(diǎn).

1 夯實(shí)基礎(chǔ),注重對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

高考對統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考查,雖然試題千變?nèi)f化,但都以基本概念、基本思想為基礎(chǔ),所以在復(fù)習(xí)中要以“課標(biāo)”為軸,圍繞教材,對重點(diǎn)概念強(qiáng)化復(fù)習(xí),夯實(shí)基礎(chǔ)知識.統(tǒng)計(jì)中的概念眾多,在復(fù)習(xí)備考中,教師要引導(dǎo)學(xué)生回歸教材,對教材中的基本概念進(jìn)行梳理.統(tǒng)計(jì)的基本研究過程,即收集數(shù)據(jù)→整理數(shù)據(jù)→分析數(shù)據(jù)→統(tǒng)計(jì)推斷,這條主線可以將統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念串聯(lián)起來.

例1某家大型超市統(tǒng)計(jì)了八次節(jié)假日的客流量(單位:百人)分別為29,30,38,25,37,40,42,32,那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為______.(39)

分析：根據(jù)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用情境,結(jié)合第75百分位數(shù)的定義加以合理計(jì)算,即可確定相應(yīng)的答案.

點(diǎn)評：百分位數(shù)是在初中以及舊教材中對于樣本的特征數(shù)字所對應(yīng)的中位數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步細(xì)化與深入,是用樣本估計(jì)總體中的一個(gè)新概念,為數(shù)據(jù)分析與決策問題提供更為詳細(xì)的數(shù)據(jù)信息,因而成為高考命題中的一個(gè)重要基本概念.

2 加強(qiáng)數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算能力的培養(yǎng)

“課標(biāo)”對數(shù)學(xué)能力的要求中,在統(tǒng)計(jì)知識主要涉及數(shù)據(jù)處理能力,通過數(shù)據(jù)分析,借助統(tǒng)計(jì)知識與方法、公式等構(gòu)建模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、推斷,獲得結(jié)論;另外還涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.這是該模塊知識中應(yīng)用最為廣泛的兩種基本能力,要加以全面提升.

統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的收集和處理方法,這也是高考考查的重點(diǎn),所以在教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算能力的培養(yǎng).

表1

分析：根據(jù)題意,利用總體的樣本平均數(shù)、方差的計(jì)算公式,通過合理分析與邏輯推理加以計(jì)算得到對應(yīng)的答案.

點(diǎn)評：依托現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用情境,以統(tǒng)計(jì)模塊的基礎(chǔ)知識為應(yīng)用背景,借助平均數(shù)與方差公式,通過題中數(shù)據(jù)加以運(yùn)算與比較.特別在對一些實(shí)際應(yīng)用問題進(jìn)行決策與判斷時(shí),要有數(shù)據(jù)依據(jù)與基礎(chǔ).

3 加強(qiáng)閱讀理解能力的培養(yǎng)

高考在統(tǒng)計(jì)方面的命題常以應(yīng)用題為載體,重視統(tǒng)計(jì)的理論知識與實(shí)際生活相結(jié)合,題材內(nèi)容豐富,注重考查考生各方面的能力與應(yīng)用,往往考題的文字描述多,對考生的閱讀理解能力要求高.因此,要加強(qiáng)閱讀理解能力的培養(yǎng),重視審題教學(xué),教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確理解題意,并通過數(shù)據(jù)分析來分析與處理問題.

例3在南極,東南極冰蓋被稱為“沉睡的巨人”,是世界上最大的大陸冰川,包含了世界上大部分的冰.2022年在英國《自然》雜志發(fā)表的一篇論文指出,若《巴黎協(xié)定》的控溫目標(biāo)未能達(dá)成,東南極冰蓋會(huì)因氣候變化影響而加速融化,到2500年,可能導(dǎo)致海平面上升2～5米.無獨(dú)有偶,2023年發(fā)表于《科學(xué)》雜志的新研究中,法國圖盧茲空間地球物理學(xué)和海洋學(xué)研究實(shí)驗(yàn)室領(lǐng)銜的國際團(tuán)隊(duì)揭了比之前預(yù)測的更大的冰川質(zhì)量損失,全球溫度升高與冰川質(zhì)量損失之間存在線性相關(guān)關(guān)系,有如表2所示的數(shù)據(jù):

表2

根據(jù)數(shù)據(jù),繪制如圖1所示的散點(diǎn)圖,則下列說法正確的是( ).(C)

圖1

①冰川消融百分比與溫度上升量存在正相關(guān)關(guān)系;②由表中數(shù)據(jù)用最小二乘法得到的線性回歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)(1.25,41)③記表中數(shù)據(jù)y1,y2,y3,y4,y5,y6的方差為s,若控溫措施有效,則冰川消融百分比將變?yōu)閦%,且zi=0.6yi+0.005(i=1,2,3,4,5,6),那么z1,z2,z3,z4,z5,z6的方差將變?yōu)閟′=0.6s+0.005.

A.① B.③ C.①② D.②③

分析：通過素材的閱讀理解,根據(jù)題中的數(shù)據(jù)信息,結(jié)合散點(diǎn)圖可以判斷①,由線性回歸方程恒過樣本點(diǎn)的中心判斷②,由方差公式的性質(zhì)判斷③,進(jìn)而綜合來分析與判斷.

點(diǎn)評：以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)信息與圖形信息來創(chuàng)設(shè)問題場景,結(jié)合線性回歸方程的確定與性質(zhì)、樣本估計(jì)值的計(jì)算,特別是方差公式的應(yīng)用等,綜合考查數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng),特別是閱讀理解能力.

4 注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)及思想方法的滲透

高考命題對統(tǒng)計(jì)模塊的要求同樣也是以知識為載體,能力立意為本,數(shù)學(xué)思想方法為靈魂,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)來考查.在實(shí)際的統(tǒng)計(jì)模塊知識復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí),合理落實(shí)“四基”,全面培養(yǎng)“四能”.

A.平均數(shù)為2 B.中位數(shù)為2

C.方差為2 D.標(biāo)準(zhǔn)差為2

分析：根據(jù)題中樣本數(shù)據(jù)的總和與平方和的數(shù)據(jù)信息,結(jié)合各對應(yīng)樣本數(shù)據(jù)信息與對應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算,即可正確判斷.

點(diǎn)評：數(shù)據(jù)信息與樣本估計(jì)值的公式等,是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)處理能力與素養(yǎng)的一個(gè)重要場景.基于統(tǒng)計(jì)場景與應(yīng)用,合理借助對應(yīng)的數(shù)據(jù)信息與數(shù)據(jù)處理,達(dá)到合理考查的目的.

5 認(rèn)真研究考題,把握高考命題方向

把脈高考命題方向是每位教師備考時(shí)的一項(xiàng)重要工作.近幾年高考對統(tǒng)計(jì)方面的考查內(nèi)容和方向變化不大,保持較高的穩(wěn)定性.高考主要考查統(tǒng)計(jì)中的基本概念,抽樣方法,樣本的數(shù)字特征,頻率分布直方圖以及其他統(tǒng)計(jì)圖表,總體百分位數(shù),統(tǒng)計(jì)相關(guān)性,獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸方程等知識的應(yīng)用、決策問題.復(fù)習(xí)時(shí)要做好近年高考題的歸類整理,備考選題以全國卷為主,分類分組訓(xùn)練,避免知識類型的“盲區(qū)”,并領(lǐng)會(huì)題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法.

例5為研究農(nóng)藥A對農(nóng)作物成長的功效,在甲、乙兩塊試驗(yàn)田播種同一種農(nóng)作物,甲試驗(yàn)田噴灑農(nóng)藥A,乙試驗(yàn)田沒有噴灑農(nóng)藥A,經(jīng)過一段時(shí)間后,從甲、乙兩塊試驗(yàn)田各隨機(jī)選取100株幼苗,統(tǒng)計(jì)200株幼苗高度(單位:cm)如表3所示.

表3

(1)分別求甲、乙兩塊試驗(yàn)田中幼苗的平均高度的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(10.1cm)

(2)分別統(tǒng)計(jì)樣本中甲、乙兩塊試驗(yàn)田幼苗高度小于10 cm和不小于10 cm的株數(shù),完成下列聯(lián)表(表4),并依據(jù)小概率α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析是否噴灑農(nóng)藥A與幼苗生長的高度有關(guān)聯(lián)?(有關(guān)聯(lián))

表4

χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如表5所示.

表5

分析：(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)信息,利用平均數(shù)公式加以分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)信息完成2×2列聯(lián)表,結(jié)合公式計(jì)算χ2的值,進(jìn)而加以分析與推斷.

點(diǎn)評：以實(shí)際應(yīng)用問題為情境,借助獨(dú)立性檢驗(yàn)的創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用,合理融入統(tǒng)計(jì)知識中的頻率分布直方圖、樣本估計(jì)與平均值求解等,借助數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)運(yùn)算等,綜合考查對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)知識與應(yīng)用.

近年新高考中,涉及的統(tǒng)計(jì)模塊試題考查的內(nèi)容緊密對標(biāo)“課標(biāo)”,與教材中知識內(nèi)容所占的比例比較吻合,注重全面考查數(shù)學(xué)基本知識,并在此基礎(chǔ)上加以深化,在“通性通法”的基礎(chǔ)上,進(jìn)行了適度的綜合與創(chuàng)新,提升創(chuàng)新性與應(yīng)用性.