基于波利亞解題思想的導數(shù)零點問題的例題表設計

摘 要：本文以2020年新高考文科數(shù)學全國Ⅰ卷第20題為例，基于波利亞“怎樣解題”的思想，對導數(shù)零點問題中根據(jù)零點個數(shù)求解參數(shù)這一類型問題的解題表設計進行了探究.

關鍵詞：導數(shù)；零點問題；解題表設計

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）03-0027-03

20世紀以來，問題解決一直是心理學與教育學研究的重點，其中美籍匈牙利數(shù)學家波利亞（George Polya）的解題理論是眾多教育家推崇的理論之一，其歸納出的“怎樣解題表”為學生提供了啟發(fā)式的解題方法，主要包括理解問題、擬定計劃、實行計劃、回顧[1].

本文基于波利亞解題思想，以2020年新高考文科數(shù)學全國Ⅰ卷第20題為例，對根據(jù)零點個數(shù)求解參數(shù)的零點問題的解題表設計進行了探究.旨在為學生提供解答該類題目的方法，啟發(fā)學生對其他零點問題的思考，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維.

1 解題表的設計——以2020年新高考文科數(shù)學全國Ⅰ卷第20題為例

1.1 原題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=ex-a（x+2）.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

第（1）問直接將a的取值代入，根據(jù)導數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關系，可得f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞增，具體過程不予贅述.第（2）問是根據(jù)零點個數(shù)求解參數(shù)的零點問題，以此為例，下面我們對這類問題的解題表設計進行探究.

1.2 理解問題

根據(jù)波利亞的“怎樣解題表”，第一步要理解問題.在這一步驟中學生可以基于“未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？可能滿足什么條件？”四個問題進行思考[2].

對于該類型的零點問題，我們的已知、未知、條件往往為函數(shù)的解析式、參數(shù)范圍、零點個數(shù).判斷“滿足條件是否可能？”最直觀的方法就是作圖，因此，我們首先討論函數(shù)的單調(diào)性.對f（x）求導發(fā)現(xiàn)

f ′（x）=ex-a是單調(diào)遞增函數(shù)，當a≤0時，f ′（x）>0恒成立，此時f（x）至多有一個零點；當a>0時，f ′（x）=0有解，所以f（x）先減后增，當f（x）min<0時，a>1/e，f（x）可能存在兩個零點，即滿足條件是可能的[4].a=1時草圖如下所示.

因此在理解問題這一步驟中，引導問題可設置為：該函數(shù)解析式是什么？該函數(shù)單調(diào)性如何？該函數(shù)有幾個零點？你是否知道它們所在的大致區(qū)間？你能否根據(jù)導數(shù)畫出滿足條件的草圖？你能否根據(jù)上述草圖初步判斷參數(shù)范圍？

1.3 擬定計劃

根據(jù)波利亞的“怎樣解題表”，第二步要擬定計劃，找出已知和未知之間的關系.在這一步驟中，學生可以基于“你知道什么與此有關的問題嗎？這里有一個與你有關且以前解過的問題，你能應用它嗎？你可以改述這個問題嗎？”三個問題進行思考.

我們已經(jīng)對a的取值范圍進行了初步判斷，欲證明（1/e，+∞）即為所求，只需證明此時f（x）在（-∞，lna）和（lna，+∞）上分別有且僅有一個零點（lna>-1）.根據(jù)零點定理及f（x）的單調(diào)性，我們可以將其改述為：證明在（-∞，lna）和（lna，+∞）

上分別存在使得函數(shù)值大于0的點，此時零點問題轉(zhuǎn)化為了取點問題，如何取點成為解題的關鍵.

因此，在理解問題這一步驟中，引導問題可設置為：按照你所擬定的計劃，你能否找到滿足使用零點定理條件的所有點？在計算過程中，你的演算是否正確？

1.5 回顧

根據(jù)波利亞的“怎樣解題表”，最后一步要回顧、校核所得的解答.在這一步驟中學生可以基于“你能校核結(jié)果嗎？你能用不同的方法得出結(jié)果嗎？你能應用這結(jié)果或方法到別的問題上去嗎？”三個問題進行思考.

回顧本題的解答過程，重難點分別在于將零點問題轉(zhuǎn)化為取點問題和取到使函數(shù)值為正的點.這一過程中，學生常會因放縮不當而迷茫，此時就需要開辟新的思路：若堅持放縮，是否可以放縮ex來尋找（lna，+∞）上使得函數(shù)值大于0的點；若放棄該思路，自然地可想到分離參數(shù)，此時題目就轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的交點問題，具體過程不予贅述.

2 結(jié)束語

本文以2020年新高考文科數(shù)學全國Ⅰ卷第20題為例，基于波利亞“怎樣解題”的思想，對根據(jù)零點個數(shù)求解參數(shù)這一類型的導數(shù)零點問題的解題表設計進行了探究，為學生提供了解答該類題目的方法以及思考過程，其中體現(xiàn)出的放縮、分類討論等思想有利于發(fā)散學生的數(shù)學思維.

日后，學生若再遇同類型題目可直接套用本文總結(jié)出的解題表進行解答，對于其他類型的導數(shù)題目亦可從本文出發(fā)進行遷移.

參考文獻：

［1］G.Polya.怎樣解題[M].北京： 科學出版社，1982.

[2] 林生.常規(guī)中重基礎，樸實間見真功：2020年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學第20題的深度分析與優(yōu)效備考策略[J].廣東教育（高中版），2020（Z1）：54-58.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-10-25

作者簡介：孫雅琪（2002.8-），女，遼寧省丹東人，本科，從事中學數(shù)學教學研究.