基于改進積分不等式的時變時滯系統穩定性分析

李紫薇,姜偕富,李敬瑩,李佳峰,馬雪樂

(杭州電子科技大學自動化學院,浙江 杭州 310018)

0 引 言

時滯在實際系統中十分常見,如數字控制系統、氣動系統中的長傳輸線、制造過程和遠程控制系統中都存在時滯,時滯已成為致使系統性能差甚至不穩定的主要原因之一。在過去的幾十年里,由于時滯在許多實際系統中都會出現,導致一些不適當的性能、振蕩甚至不穩定,人們對時滯系統的穩定性分析付出了大量的努力,主要集中在以下幾個方向:一種方法是找到一個合適的L-K泛函;例如,LKF延遲分區方法[1],LKF增強項[2],LKF三重積分及四重積分項[3]等等。另一種方法是通過發展各種不等式技術,如Jensen不等式[4]、基于Wirtinger積分不等式[5]、Bessel-Legendre不等式[6]等。此外,為了進一步提高求解LMI的自由度,在LKF的導數中經常引入額外的自由加權矩陣技術,如零等式[7]、自由加權矩陣[8]等。其中,Bessel-Legendre積分不等式可以極大程度地減少所得到的結果的保守性。對于恒延遲系統,Bessel-Legendre積分不等式有得到解析解的潛力。然而,它在時滯系統中的應用中存在一個缺點,即它所得到的邊界依賴于互凸組合。對于具有時變時滯的系統,通過引入松弛矩陣,Lee等人提出了一個affine Bessel-Legendre積分不等式(ABLI)[9]。然而其松弛項是與延遲無關的,其中的自由度還沒有得到充分的反映,這導致了一定的保守性。受參考文獻[10]的啟發,本文通過插入一對凸參數,給出了一個基于松弛矩陣的復合積分不等式(CSMBII)。該不等式有以下兩個優點。

(1)避免了Bessel-Legendre積分不等式中時滯變量h(t)出現在分母中這一情況,能更方便地處理時變時滯系統。

(2)解決了ABLI積分不等式中的松弛矩陣與時變時延無關的問題[11],使得CSMBII能進一步捕獲時變時延和系統狀態之間的耦合信息。在此基礎上,針對時滯系統導出了一種新的穩定性判據。通過兩個數值例子,驗證了該準則的有效性。

1 問題描述

考慮以下線性時變時滯系統:

(1)

引理1(Bessel-Legendre積分不等式)[6]對于任意正定矩陣R和任意一個連續可微函數{x(s)|s∈[a,b]},對于所有整數N,以下積分不等式成立:

(2)

引理2(ABLI)[9]給定對稱矩陣R>0,任意矩陣X和一個連續可微函數{x(s)|s∈[a,b]},對于所有整數N,以下積分不等式成立:

(3)

其中:

引理3[12]對于一個給定的二次函數f(y)=a2y2+a1y+a0,其中ai∈R,i=0,1,2,且0≤y=h(t)≤h,如果滿足以下條件:

(1)f(0)<0;(2)f(h)<0;(3)-h2a2+f(0)<0;

則有:f(y)<0,其中y∈[0,h]。

引理4(CSMBII) 對于滿足系統(1)的時滯變量h(t),任意正定矩陣Ri(i=1,2),任意連續可微函數{x(t)|t∈[-h,0]},及松弛矩陣Xi(i=1,2),存在參數α,β∈[0,1],且滿足α+β=1,使得下面的不等式成立:

(4)

證明根據引理2和引理3可得:

注2:從式(4)中可以看出,Bessel-Legendre不等式前的分數由于參數β的存在可以被消去,進而可以避免時滯變量h(t)出現在分母中的情況,使得該不等式能更方便地用來處理時滯系統;同時,可以看出(X1H+X2H)這一松弛量由于參數α的存在與時滯變量h(t)相關,使得其可以更多地捕獲時滯變量與系統狀態之間的耦合信息,故引理4綜合了引理2與引理3的優點,預期可以得到一個保守性較小的穩定性準則。后續將圍繞引理4給出一個系統(1)的穩定性判斷準則并通過數值示例來說明運用該不等式的優勢。

2 主要結果

(5)

(6)

(7)

則系統(1)漸近穩定。其中:

G2[h(t)]=[h(t)e7e1-e2h(t)(e1-e7)h(t)(e7-e2)],

E1=[e1e2e7e9],E2=[e2e3e8e10],

ei=col{0(i-1)n×n,In,0(10-i)n×n},i=1,2,…,10.

證明首先,構造如下形式的L-K泛函,

式中:

基于系統(1)的軌跡求取V(t)的時間導數:

其中:

由引理4(N=2)易知:

綜上,對V(t)求導可得:

當

(8)

3 數值算例

本節通過兩個例子驗證了本文提出的穩定性準則的有效性。

首先,針對時滯系統(1)考慮了以下兩個系統模型,這些系統模型在許多文獻[9,11,13,14,15]中被廣泛用于驗證穩定性準則的有效性。

例1使用文獻[13]中的系統模型:

(9)

令μ=-μ1=μ2,運用定理1計算了不同μ={0.1,0.2,0.5,0.8}的時滯系統(1)的最大時滯上界h,將本文所得最大時滯上界h與文獻[9,13,14]對比,得到的結果如表1所示。

表1 例1中具有不同μ值的最大允許時滯上界h

對于給定的μ,時滯系統(1)的最大時滯上界h如表1所示,顯然,本文定理1所得的結果要優于文獻[3,5,12],且本文定理引入的決策變量相對文獻[3]和文獻[5]而言更少,在一定程度上降低了計算復雜度。

例2使用文獻[5]中的系統模型:

(10)

令μ=-μ1=μ2,運用定理1計算了不同μ={0.1,0.2,0.5,0.8}的線性系統(1)的最大時滯上界h,將本文所得最大時滯上界h與文獻[2,5,14]對比,得到的結果如表2所示。

表2 例2中具有不同μ值的最大允許時滯上界h

對于給定的μ,如表2所示,本文定理1得到的最大允許時滯上界h最大。因為本文運用了基于松弛矩陣的復合積分不等式(CSMBII),并在此基礎上在積分泛函中補充了兩對積分項的修正L-K泛函,考慮了更多的時滯相關信息,有效減小了結果的保守性。

通過上述2個數例的驗證可知,使用CSMBII的定理1可以得到較小保守性的穩定性結果。

4 結束語

本文研究了時變時滯線性系統的相關穩定性問題。給出了一個基于松弛矩陣的復合積分不等式(CSMBII),基于該不等式,構造一個適當的L-K泛函,基于新的L-K泛函和引理4,導出了一個具有較小保守性的穩定性準則。最后,給出了兩個數值例子,證明了該方法的有效性。但是,本文并未考慮非線性因素,下一步將本文方法應用于非線性時滯系統的相關研究中。