合理表征、整體建構“相遇問題”模型

陳誠

模型意識是小學數學核心素養的主要表現之一。《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法解釋這些問題。”模型意識與幾何直觀、符號意識、應用意識等核心素養密切相關。模型意識的培養有其綜合性和復雜性，教師應結合學情，綜合運用多種直觀教學手段，幫助學生清晰地表征數量關系，并適度開展跨學科主題學習，幫助學生體悟數學模型的普適性，增強應用意識。下面，筆者以“相遇問題”的教學為例，分析建模過程。

一、創設情境，提煉數學問題

蔡金法教授指出：“數學建模實際上是一個從‘現實情境轉化為‘數學問題，再將結果帶回到‘現實情境進行檢驗和調整，使得模型不斷優化，最終得以更好地解決現實問題的過程。”真實的情境是數學建模的基礎，能迅速喚醒學生的生活經驗，激發學生的探究欲。教學“相遇問題”時，筆者創設了如下情境。

歡歡和樂樂對身體上的“尺子”很感興趣，他們想通過步行測量兩家大約相距多少米，于是一起做了一個小實驗。首先，他們測量出各自平均每分鐘走的路程，歡歡測得自己平均每分鐘走60米，樂樂測得自己平均每分鐘走50米。然后，他們約定同時從各自家里出發，走同一條路前往對方家。步行10分鐘后，他們相遇了。你知道歡歡家和樂樂家相距多少米嗎？

筆者提供這個情境后，學生的探究欲一下子被激發出來。筆者引導學生提煉情境中的數學信息，抽象出如下數學問題：“歡歡和樂樂同時從家里出發，相向而行。歡歡每分鐘走60米，樂樂每分鐘走50米，10分鐘后相遇。歡歡家和樂樂家相距多少米？”通過這一轉化過程，學生將數學與生活緊密聯系起來，為后續模型的建立奠定了基礎。

二、深入探究，抽象數學模型

明晰數學問題后，教師應引導學生完整經歷數學模型的抽象過程。抽象過程中，分析、理解和表達數量關系是數學建模的重要一環，有助于學生明晰解決問題的思路。幾何直觀是幫助學生分析和理解數量關系的重要思想方法，教學“相遇問題”時，筆者通過圖示等直觀的表征方式，引導學生觀察、比較、分析數量關系，進而用數學語言抽象、概括數學模型。

筆者布置如下探究活動：①畫一畫——根據題意畫圖分析；②想一想——自主思考怎樣解答；③說一說——分享為什么這樣解答，以及有什么發現。首先，學生用藍色小長方形代表歡歡每分鐘步行的路程（速度），用粉色小長方形代表樂樂每分鐘步行的路程（速度），畫出圖1，并發現A到B之間的長度即為兩家的距離。同時，由于兩人步行的時間相同，所以學生將圖1中的時間縱向疊加，進一步抽象出圖2。圖2中，藍色長方形的長代表歡歡每分鐘步行的路程（速度），粉色長方形的長代表樂樂每分鐘步行的路程（速度），長方形的寬則代表兩人步行的時間。

其次，在“想一想”的活動中，學生結合圖2分析得出“歡歡步行路程=歡歡步行速度×時間=60×10”，即為藍色長方形的面積。同理，樂樂步行路程=樂樂步行速度×時間=50×10，即為紅色長方形的面積。因此，兩人步行的路程即為兩個長方形的面積之和（大長方形的面積），也就是可用“（60+50）×10”得出歡歡家和樂樂家相距1100米。

最后，在“說一說”的活動中，學生結合圖2進一步闡釋算式的意義，發現“60+50”即圖中斜線部分的面積，表示“兩人每分鐘步行的距離（兩人的速度和）”，步行10分鐘，即10個“60+50”相加。由此，學生歸納出：（甲速度+乙速度）×相遇時間=相遇路程。這一模型結構與乘法模型一致。其中，“60+50”相當于乘法中的每份數，“10”代表份數，“1100”代表“總數”。

在這一過程中，學生通過圖示表征、數形結合等方法，構建出解決相遇問題的直觀“面積模型”，把握了“相遇問題”的本質——乘法模型（每份數×份數=總數），明晰了“先求兩人步行的速度之和，再乘兩人步行的時間，得到兩人相距路程”的思維路徑，進而提煉出解決相遇問題的一般數學模型——（甲速度+乙速度）×相遇時間=相遇路程。

三、溝通聯系，整體建構模型

在新的數學模型建立后，教師應引導學生聯系已掌握的數學模型，通過尋找新舊模型之間的內在邏輯關系，使頭腦中的“單一模型”發展為“多元模型”，從而豐富模型結構，整體建構模型。

在具體情境中，“速度×時間=路程”“單價×數量=總價”“工作效率×工作時間=工作總量”這三個模型均與“每份數×份數=總數”相關，均屬于乘法模型。基于此，筆者在學習單中設置了一系列問題，幫助學生豐富模型結構，整體建構模型。問題1：學校要為體操隊的10名學生購買體操服，已知上衣的價格是60元，褲子的價格是50元，一共要用多少錢？問題2：平平每天練習寫60個毛筆字，安安每天練習寫50個毛筆字，10天后，兩人一共寫了多少個毛筆字？筆者讓學生按照學習單上的要求，思考圖3各部分分別可以代表問題1和問題2中的哪些信息，并將相應的信息填寫在括號中，最后計算解答問題。

通過以上學習活動，學生發現：在上述問題情境中，無論是求解“相遇路程”，還是求解“總價”“工作總量”，都能用算式“（60+50）×10=1100”表示，并且題目中的數量關系都可以用面積模型表征。換言之，“（甲速度+乙速度）×時間=路程”模型、“（甲單價+乙單價）×數量=總價”模型、“（甲工作效率+乙工作效率）×工作時間=工作總量”模型本質上是相同的，如果用字母表示，均可表示為[（a1+a2）×b=f]。這樣學習，學生溝通了模型之間的聯系，對數學模型形成了更加抽象的理解，初步感知到數學模型的普適性。

四、注重變式，深入解構模型

整體建構數學模型之后，教師要通過變式問題，強化學生對數學模型與原型之間聯系的感悟，促進學生頭腦中數學模型的結構化。具體來說，在學生建構“[（a1+a2）×b=f]”數學模型之后，筆者通過變換具體問題情境中的條件和問題，形成如下變式問題。

變式1：歡歡家和樂樂家相距1100米，他們同時從家出發，相向而行，10分鐘后相遇，已知歡歡每分鐘步行60米，樂樂每分鐘步行多少米？

變式2：學校為10名學生購買體操服（含上衣和褲子），共花費1100元，已知每件上衣50元，每條褲子多少元？

變式3：平平和安安制定了共同寫1100個毛筆字的目標，她們從同一天開始書寫，已知平平每天寫60個毛筆字，安安每天寫50個毛筆字，她們幾天能寫完？

學生分析解答、交流討論后發現：雖然求解這三道題目的算式與原型不同，但這三道題目的數量關系與原型一致，均為“[（a1+a2）×b=f]”模型。這樣教學，學生在變式訓練中解構模型，形成了對數學模型的結構化認知。

五、聯系生活，凸顯應用價值

學生整體建立對數學模型的結構化認知后，教師應提供一些現實問題，幫助學生提升數學模型的應用水平。筆者給出如下凸顯數學模型應用價值的挑戰性任務，引導學生在識別模型、解決問題的過程中加深對數學模型的理解。

下面的問題能用數量關系“[（a1+a2）×b=f]”表達嗎？若能，請說一說題目中的[a1]、[a2]、[b]和[f]分別表示什么？

問題1? 學校要為圖書館添置兩種新書，每種買4套。其中，故事書每套145元，科技書每套155元。一共要花多少錢？

問題2? 甲、乙兩隊合作修一條隧道，從兩端同時開鑿。隧道長1200米，10天打通。已知甲隊的進度是70米/天，乙隊的進度是每天多少米？

問題3? 小華家和小麗家相距2500米，他們同時出發，相向而行。小華每分鐘騎行260米，小麗每分鐘騎行240米。幾分鐘后他們可以相遇？

學生獨立思考、小組交流后，筆者組織學生匯報。第一小組匯報：問題1為“總價模型”，[a1]、[a2]分別代表故事書和科技書的單價，即145元、155元；[b]代表數量，即4套，是已知量；[f]代表兩套書的總價，是未知量；列式“（145+155）×4”，求得[f]為1200元。第二小組匯報：問題2為“工作總量模型”，[a1]、[a2]分別代表甲、乙兩隊的工作效率，即70米/天和“未知量”；[b]代表工作時間，即10天；[f]代表工作總量，即1200米；根據模型列式“（70+[a2]）×10=1200”，求得[a2]為50米/天。第三小組匯報：問題3為“相遇問題模型”，[a1]、[a2]分別代表小華和小麗的騎行速度，即260米、240米；[b]代表兩人相遇的時間，是未知量；[f]代表路程，即2500米；根據模型列式“（260+240）×[b]=2500”，求得[b]為5小時。完成這一任務后，筆者引導學生根據“[（a1+a2）×b=f]”模型，拓展創編不同的數學問題。

（作者單位：武漢市光谷豹子溪小學）

責任編輯? 劉佳