初中數(shù)學(xué)教學(xué)的變式法則

艾新明 童亞平

變式教學(xué)是教師通過(guò)不斷變化題目的形式，挑戰(zhàn)學(xué)生的思維習(xí)慣，促使他們尋找解決問(wèn)題新途徑的教學(xué)策略。這種教學(xué)策略不但能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和定理的理解和記憶，而且能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、問(wèn)題分析能力和創(chuàng)新思維能力。在變式教學(xué)中，學(xué)生需要識(shí)別問(wèn)題的本質(zhì)，尋找不變的核心要素，這種能力的培養(yǎng)對(duì)于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展極為重要，而且，面對(duì)不斷變化的題目，學(xué)生的好奇心和探索欲得到滿(mǎn)足，學(xué)習(xí)會(huì)更加主動(dòng)。此外，通過(guò)解決各種變式問(wèn)題，學(xué)生能夠不斷鞏固和深化所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率。筆者以初中數(shù)學(xué)代數(shù)板塊、幾何板塊、函數(shù)板塊的內(nèi)容為例，闡述變式教學(xué)的法則。

一、?????? “變則新”法則

變式教學(xué)有利于學(xué)生在課堂教學(xué)中不斷拓寬知識(shí)視野，潛移默化地接受創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，也有利于教師落實(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中加強(qiáng)數(shù)與代數(shù)的整體性和一致性的要求。代數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，其抽象性和邏輯性要求學(xué)生不僅要理解公式和定理，還要靈活應(yīng)用它們解決問(wèn)題。在講解“乘法公式中的平方差公式”這節(jié)課時(shí)，筆者依據(jù)7～9年級(jí)學(xué)生的年齡特征、認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合大單元教學(xué)理念，不斷呈現(xiàn)變化的題型，讓學(xué)生真切體會(huì)數(shù)與式的完美統(tǒng)一。

原題是“運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（4x+3）（-3+4x）”。為發(fā)散學(xué)生思維，筆者這樣引導(dǎo)學(xué)生變式，首先，用（a-b）表示（-b+a），原式就變?yōu)椋?x+3）（4x-3），同理，（3+2x）（-3+2x）可變式為（3+2x）（2x-3）。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合理變形，運(yùn)用平方差公式計(jì)算兩位數(shù)乘法“51×49”。有了前面的變式基礎(chǔ)，學(xué)生很快將“51×49”變?yōu)椤埃?0+1）（50-1）”，避免了繁雜的計(jì)算過(guò)程。為拓展學(xué)生的變式思維，筆者出示了“（a-2）（a+2）（[a2]+4）”，學(xué)生立即發(fā)現(xiàn)“（a-2）（a+2）”可合并為“[a2]-4”，所以原式可變?yōu)椤癧（a2]+4）（[a2]-4）”。在此基礎(chǔ)上，筆者又出示“（x+y+z）（x+y-z）”，讓學(xué)生借助平方差公式解決這個(gè)多項(xiàng)式問(wèn)題。經(jīng)過(guò)思考，學(xué)生將原式轉(zhuǎn)化為“[（x+y）+z）] [（x+y）-z）]”。

這幾個(gè)變式由淺入深，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有外在表現(xiàn)形式在變，公式的內(nèi)在結(jié)構(gòu)保持不變，從而深入理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，熟練運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。實(shí)踐證明，這樣變式讓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野更為開(kāi)闊，數(shù)學(xué)思維得以發(fā)散。

二、“變則?！狈▌t

“變則睿”是教師以條件中某“一個(gè)點(diǎn)”為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度解決同類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，以分解題目難點(diǎn)，疏通解題思路，提高發(fā)散思維能力。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的高低主要體現(xiàn)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力上，“雙減”政策鼓勵(lì)“少而精”的訓(xùn)練，因此，教師可以通過(guò)從不同角度分析一道題或一類(lèi)題，引導(dǎo)學(xué)生一題多解，掌握多種解題方法，促使學(xué)生在解決一道題的過(guò)程中學(xué)會(huì)解決一類(lèi)題的方法，培養(yǎng)舉一反三的發(fā)散思維能力，最終達(dá)到“增效減負(fù)”的目的。

例如，在“圓與三角函數(shù)”習(xí)題課的教學(xué)中，筆者借助如下例題開(kāi)展變式教學(xué)活動(dòng)。

例題? 如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分別與邊AB、AD、DC相切，切點(diǎn)分別為E、G、F，其中E為邊AB的中點(diǎn)。若AD=3，BC=6，求tan∠AEF。

在教學(xué)實(shí)踐中，將一道繁難的數(shù)學(xué)題分解成若干個(gè)層層遞進(jìn)的簡(jiǎn)單問(wèn)題是一種特殊的變式。根據(jù)已知條件，解答這道題難度較大，很多學(xué)生都有畏難情緒?；趯W(xué)情，筆者將題目進(jìn)行拆解，設(shè)置層層推進(jìn)的問(wèn)題，幫助學(xué)生克服畏難心理，養(yǎng)成階梯式解決問(wèn)題的思維習(xí)慣。

問(wèn)題1? 圖中有哪些基本圖形？

問(wèn)題2? 依據(jù)AD=3，BC=6，你認(rèn)為可以解決哪些線(xiàn)段長(zhǎng)度的問(wèn)題？還可以用哪些方法解題？

問(wèn)題3? 你有哪些求tan∠AEF的方法？

筆者將原題拆解為以上三個(gè)問(wèn)題。其中，前兩個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，學(xué)生可以比較容易地在問(wèn)題的引導(dǎo)下求出圓的半徑，切線(xiàn)DG、DF、CF等長(zhǎng)度，為后續(xù)解答做鋪墊。在解決變式問(wèn)題3時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生自主思考、小組交流，學(xué)生給出了不同的解法，筆者引導(dǎo)學(xué)生比較各種解法的優(yōu)劣，最終確定了以下三種相對(duì)優(yōu)化的方法。

解法1? 如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，交DP于點(diǎn)N。

這種輔助線(xiàn)的做法比較直接，構(gòu)造出含有待求角的直角三角形，然后通過(guò)反復(fù)解直角三角形解決問(wèn)題，但對(duì)題中含有的基本圖形沒(méi)有充分利用，解決問(wèn)題的過(guò)程略顯費(fèi)力。

解法2? 如圖3，延長(zhǎng)AD、CB與直線(xiàn)EF交于點(diǎn)P、H。

這樣構(gòu)建輔助線(xiàn)基于兩點(diǎn)：①將∠AEF放在直角三角形中，∠A為直角；②解決tan∠AEF的實(shí)質(zhì)是解決線(xiàn)段的比值問(wèn)題，而題中有平行線(xiàn)，所以要構(gòu)造“X型”圖或“A型”圖來(lái)解決問(wèn)題。

解法3? 如圖4，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)M，再連接OE、OM。

由于題中切線(xiàn)很多，我們可以從切線(xiàn)長(zhǎng)定理入手解讀，如E、G為切點(diǎn)，學(xué)生很容易想到切線(xiàn)長(zhǎng)定理。據(jù)此，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，若E、F為切點(diǎn)，如何建立切線(xiàn)長(zhǎng)定理的模型。這樣構(gòu)建輔助線(xiàn)不僅體現(xiàn)了在圓的背景下切線(xiàn)長(zhǎng)定理的運(yùn)用，更巧妙地將∠AEF轉(zhuǎn)化為∠MOE，進(jìn)而方便求解。

這樣變式可以讓學(xué)生掌握多種解決問(wèn)題的方法，并且通過(guò)比較不同方法的優(yōu)劣，養(yǎng)成批判思維習(xí)慣。

三、“變則通”法則

“變則通”就是教師從不同的角度改變教材例題的呈現(xiàn)方式，如增加條件或減少條件，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般等，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì)屬性。

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，筆者以“一次函數(shù)的概念”變式教學(xué)為例談?wù)勛兪浇虒W(xué)在促進(jìn)學(xué)生理解函數(shù)概念、提升學(xué)生解題技能方面的運(yùn)用。

例題? 某登山隊(duì)大本營(yíng)所在地的氣溫為5℃，海拔每升高1km，氣溫下降6℃。登山隊(duì)員由大本營(yíng)向上登高xkm時(shí)，他們所在位置的氣溫為y℃。你能用函數(shù)解析式表示y與x的關(guān)系嗎？它是正比例函數(shù)嗎？

筆者從學(xué)情出發(fā)，結(jié)合不同的實(shí)際情境設(shè)計(jì)變式問(wèn)題，如物理學(xué)中的彈力問(wèn)題、生活中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等，幫助學(xué)生深入理解一次函數(shù)中兩個(gè)變量所滿(mǎn)足的關(guān)系，更好地掌握一次函數(shù)的概念。

變式1? 一個(gè)彈簧不掛重物時(shí)長(zhǎng)12cm，掛上重物后伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛重物的質(zhì)量成正比。掛上1kg的物體后，彈簧伸長(zhǎng)2cm。表示彈簧總長(zhǎng)y（單位：cm）與所掛物體質(zhì)量x（單位：kg）的關(guān)系。

變式2? 某種電話(huà)套餐的月金額y（單位：元）包括月租費(fèi)22元和撥打電話(huà)x分鐘的計(jì)時(shí)費(fèi)（按0.1元/分鐘收取）。表示出y與x關(guān)系。

變式3? 在某火車(chē)站托運(yùn)物品時(shí)，不超過(guò)1kg的物品需付2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg計(jì)算）需增加托運(yùn)費(fèi)0.5元。設(shè)托運(yùn)pkg（p為整數(shù)）物品的費(fèi)用為c元。試寫(xiě)出c與p的關(guān)系。

以上變式問(wèn)題的介入，有利于學(xué)生將一次函數(shù)的概念與實(shí)際情境相聯(lián)系，更深刻地理解和掌握一次函數(shù)的概念，增強(qiáng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。限于篇幅，不再詳解。

變式教學(xué)通過(guò)不斷改變題目的形式和條件，讓學(xué)生不再僅僅依靠公式、定理解決問(wèn)題，而是通過(guò)深刻理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力，為學(xué)生的全面發(fā)展和終身學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（作者單位：武漢市江夏區(qū)教學(xué)研究室）

責(zé)任編輯? 吳鋒