淺談分率（百分率）、比與除法的一致性

宋文相

小學數學教學中，教師要注重前后知識間的內在聯系，引導學生遷移舊知，類比學習新知。筆者結合《百分數的應用（一）》的教學，淺談分率（百分率）、比與除法的一致性。

形式的一致性。課始，筆者出示數學問題：“有45立方厘米的水，結冰后體積約為50立方厘米。（1）冰的體積比原來水的體積約增加了百分之幾？（2）水的體積比冰的體積約減少了百分之幾？”拋出問題后，筆者引導學生分析：把冰的體積和水的體積寫成比的形式為“50∶45=10∶9”；這個比可以轉化成分率，即“50∶45=10∶9=[109]”。但是要注意：比的后項是單位“1”，前項是比較量，表示冰的體積是水的幾分之幾；分率“[109]”中的分母相當于除法中的除數，也相當于比的后項；而分率過渡到百分率只是結果要化成百分率形式而已，由此可以列式得：50÷45×100%≈111.1%。這樣再來解決第（1）問，就與解決“冰的體積比水的體積多幾分之幾？”是一致的了，即用多的數量“50-45”除以單位“1”的量（水的體積“45”）得到“[19]”。而求“增加了百分之幾？”就是求“冰比水多的體積是水的百分之幾”，類比分數的應用可以列式為（50-45）÷45×100%≈11.1%。

建模的一致性。分數應用題中“求甲數是乙數（非零）的幾分之幾？”用除法，用比較量除以單位“1”的量，建模為“甲÷乙”，延伸到“甲數比乙數多幾分之幾”，建模為“（甲-乙）÷乙”。本節課要求的結果是百分率，可以理解為甲比乙多百分之幾，可用模型“（甲-乙）÷乙×100%”解決。考慮到算法的多樣性，應該先求出比較量是單位“1”的幾分之幾（或者百分之幾），再同整體“1”作比較。也就是說，多幾分之幾（百分之幾）的問題建模為分率（百分率）減“1”，少幾分之幾（百分之幾）的問題模型為“1”減分率（百分率）。

數形結合的一致性。解決分數的應用問題時，教師要注重引導學生通過畫一畫分析數量關系。

圖1和圖2是基于第一種方法建模的線段圖，即用相差數量除以單位“1”的數量。

圖3對應的是“求一個數比另一個數多百分之幾”模型（百分率-100%）的線段圖，圖4對應的是“求一個數比另一個數少百分之幾”模型的線段圖。

無論是分數應用題還是百分數應用題，畫線段圖分析數量關系都能化難為易，幫助學生直觀地分析、解答問題。

認知沖突的一致性。教學分數應用題時，筆者出示如下題目：“男生有40人，女生有50人，男生比女生少[15]，那么女生就比男生多[15]嗎？”學生形成認知沖突之后，筆者引導學生思辨，發現雖然相差數量不變，但由于單位“1”不同，相差的分率是不同的。同樣地，教學百分數的應用題時，仍然有“水與冰相差的體積數量不變，冰的體積比水的體積增加了約11.1%，水的體積比冰的體積減少了11.1%嗎？”這樣的認知沖突，筆者抓住認準單位“1”這個關鍵點，幫助學生突破了“增加了百分之幾”“減少了百分之幾”的問題。從比的知識來講，相差數這個比的前項不變，但比的后項改變了，所以比值發生了改變。

（作者單位：宜昌市秭歸縣第二實驗小學）

責任編輯? 張敏