數(shù)學課代表也有“周期性問題”

3月5日? ?星期二? ?天氣：晴

這一周，我們班真是“怪事”連連。陸小豆當上了數(shù)學課代表，趙依茗又提議“六一”出去郊游。我一直認為學霸的假期只屬于圖書館或書店或宅家刷題，我班的這個滿分公主可絕對不是尋常的學霸，她是一位玩著玩著就學會了的標準學霸。我還一直認為課代表都是那些學習超好的人才能被老師選中，結果我班這倆“學霸”都讓我李嘉陽大跌眼鏡，長了見識。要說陸小豆的成功來自那個像貓一樣的小精靈的幫助，那趙依茗呢？所以，我總結，學霸終究還是學霸！

李嘉陽

到底哪天放假

這天課間休息的時候，大家三三兩兩地聊起了假期去了哪里玩，雖然對到底哪里好玩并沒有論出個高低，但最終都有一個共識：假期太短了，還沒放夠。

趙依茗看快上課了，于是說道：“別討論了，之后不是還有很多假期，我看等‘六一，咱們班同學一起出去玩一次怎么樣？”

大班長的提議馬上得到了附和，大家都開始期待了起來。

“不知道‘六一那天是星期幾，要是正好連著周末，那就可以玩三天。”忽然有人問道。

“誰帶日歷了？手機查一下也行。”

“沒有日歷，學校也不讓帶手機啊。”

“唉……”

“今天是2024年3月5號，誰來算一下得了。”

“讓陸小豆算，他是數(shù)學課代表，肯定能馬上算出來。”

聽到有人喊自己，陸小豆迷迷糊糊地站了起來，“這個……我看還是看日歷方便些，一天一天數(shù)最準了。”

“切，就這……”

陸小豆的一番言論，頓時遭到了大家的鄙視，還好上課鈴正好響了……

未來世界的管理危機

放學回到家后，陸小豆看起來心事重重，飯都沒吃好就回到了自己的房間。

學霸精靈忽然跳出來：“怎么了？跟霜打的茄子似的。”

“唉，別提了，丟人了，這數(shù)學課代表看來當不長了。”于是陸小豆就把今天的事情告訴了學霸精靈。

學霸精靈聽完一蹦三尺高：“怎么不早說，周期性問題你都搞不懂，這下糟糕了，等我和未來聯(lián)絡一下再來罵你！”

學霸精靈的眼睛開始閃過一行行的數(shù)據(jù)，沒多大一會兒，它就氣哼哼地說道：“完了完了，全都亂套了，整個管理系統(tǒng)都亂了。醫(yī)院的自動開藥程序胡亂地給病人開藥，本來一周吃完的藥一天就都給病人吃了；電力供應嚴重不穩(wěn)定，電壓時高時低；通訊也總是斷斷續(xù)續(xù)。太糟糕了！”

陸小豆：“啊？這都是什么情況 ？難道又是我的錯？”

“你說得太對了！你知道周期性問題有多重要嗎？”

“不就是算算星期幾嗎？”

“那當然是最基礎的，但如果基礎都沒掌握，自然更高深也不會搞明白。你看我瞬間就能算出2024年的‘六一是星期六。”

“你是電腦，當然……”

“別說了，馬上給我變身！”

變身之后，陸小豆一下子想到了很多。

“3月份有31天，31-5=26（天），因此再過26天就是3月31日。在此基礎上再過30天正好就是4月30日，然后再過31天就是5月31日。此時已過了26+30+31=87（天），再過1天就是6月1日了，因此還要再過88天。”

“一周7天是一個周期，88÷7=12……4，今天是星期五，過了12個完整的周期，再往后推4天，六一是星期六。”

若一組事件或現(xiàn)象按同樣的順序重復出現(xiàn)，則把完成這一組事件或現(xiàn)象的時間或空間間隔，稱為周期。解決有關周期性問題的關鍵是確定循環(huán)周期。

介紹三種確定周期的方法：

（1）觀察找周期：規(guī)律比較明顯，可以通過觀察直接發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如數(shù)字排列規(guī)律；

（2）計算找周期：規(guī)律比較隱蔽，需要通過分析比較、計算才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如計算多個相同數(shù)字相乘，積的個位數(shù)字是多少；

（3）根據(jù)生活常識找周期：有些周期，我們可以根據(jù)生活常識來確定，如判斷某天是星期幾。

難度：

在學校運動會的開幕式上，46名同學組成儀仗隊站成一排。如圖所示，每人手里都舉著一面彩旗，從左到右顏色依次是紅、黃、藍、綠4種顏色依次循環(huán)。問：最右側的同學手里舉的彩旗是什么顏色的？

答案：黃色

解答：由題中條件可知，紅、黃、藍、綠4種顏色為一個周期。

46÷4=11……2，商11代表一共有11個完整的周期，而余數(shù)2代表最后余下2個。

所以第46個人旗幟的顏色是一個周期（紅、黃、藍、綠）中的第二個—黃色。

難度：

（1）工廠的倉庫里有80噸貨物，這些貨物都由同一輛卡車負責運輸。第一天往倉庫里運進了50噸，第二天運出了60噸，第三天又運進了50噸，第四天再運出60噸……如此不停地運下去。第幾天的時候，倉庫里的貨物恰好被運完？

（2）工廠的倉庫里有80噸貨物，同樣是由一輛卡車負責貨物的運輸。第一天，從倉庫里運出了60噸，第二天再運進50噸，第三天又運出了60噸，第四天再運進50噸……如此不停地運下去。第幾天的時候，倉庫里的貨物恰好被運完？

答案：（1）第16天；（2）第5天

解答：（1）第一天運進50噸，第二天運出60噸，相當于2天一共運出60—50=10（噸）；以后不停地循環(huán)下去，也就是以2天為一個周期，每個周期向外運10噸貨物。

由于80÷10=8，因此要把倉庫清空需要運8個周期，即2×8=16（天）。

（2）方法一：由題意，得最后一天必為運出60噸貨物，以2天為一個周期，每個周期運出貨物60-50=10（噸）。

要使倉庫中剩下60噸貨物，需要運（80-60）÷10=2（個）周期，即2×2=4（天）。

運完剩下的貨物還需1天，所以一共需要4+1= 5（天）。

方法二：以第2天為周期起點，把第2天與第3天看作一個周期，第4天與第5天看作一個周期，依此類推。那么在第1天后，倉庫中還剩下80-60=20（噸）貨物。每個周期有2天，共運出10噸，因此還需要運2個周期，一共需要1+2×2=5（天）。

難度：

一只蝸牛從深30米的井底向上爬，第一天向上爬了6米；第二天休息，于是向下滑了4米；第三天再向上爬6米；第四天又向下滑了4米……按這樣的規(guī)律進行下去，蝸牛第幾天才能爬到井口？

難度：

爸爸比媽媽大5歲，而且兩人生日相同。如果爸爸是1982年6月17日星期四出生的，那么媽媽是在星期幾出生的？媽媽出生后第一次在星期二過生日的時候是哪一年？

答案：第25天

方法一：蝸牛要爬出井，一定是在某一天向上爬時爬出井的。蝸牛在這一天最多爬6米，那么在之前的時間內(nèi)，蝸牛一共至少爬了24米。

這只蝸牛爬一天休息一天，第一天向上爬6米，第二天滑下來4米，所以這2天實際上只向上爬了2米。把2天看作一個周期，那么要爬24米需要24÷2=12（個）完整的周期。

因此蝸牛要爬出井一共需要2×12+1=25（天）。

方法二：我們選取第二天作為周期的起點，以“下滑4米，上爬6米”為一個周期。

第一天上爬6米，剩下24米，那么還需要24÷2=12（個）周期。

每個周期2天，則一共24天，再加上第一天，所以一共25天。

答案：星期三；1997年

解答：（1）由于從1982年6月17日到1987年6月17日，只經(jīng)歷了一個2月29日，即1984年2月29日，因此只有1個閏年，其余4個都是平年。由此可得總天數(shù)是：365×4+366=1826（天）。

1826÷7=260……6，也就是這段時間包含了 260周多6天。

從星期四開始，再過6天是星期三，因此1987年6月17日是星期三。

（2）1987年6月17日星期三媽媽出生，再過1年是1988年6月17日，由于這1年包含了1988年的2 月29日（閏年），一共366天，366÷7=52……2，則1988年6月17日是星期五；再過1年應該是一個平年，一共365天，365÷7=52……1，則1989年6月17日是星期六；用類似的方法分析，可知1990年6月17日是星期日，1991年6月17日是星期一，1992年6月17日是星期三，1993年6月17日是星期四，1994年6月17日是星期五，1995年6月17日是星期六，1996年6月17日是星期一，1997年6月17日是星期二。

因此1997年媽媽第一次在星期二過生日。

如圖，在A、B兩地之間有7個車站，一輛列車不停地往返于A、B兩地之間。它從A出發(fā)，每天行駛到下一站，到達B地后的下一天又回到7號站，如此反復。已知列車第4次駛入4號站時是星期六，那么它第20次駛入5號站時是星期幾？

答案：星期日

解答：A→1→2→3→4→5→6→7→B→7→6→5→4→3→2→1→A→1→2→3→4→……

容易看出，列車從A地到達B地需要8天，再返回A地又需要8天，然后再出發(fā)去往B地。

因此，列車往返運行的周期是16天。

發(fā)現(xiàn)列車第4次是從右往左駛入4號站的。同理，列車第6，8，10，12，14，16，18，20次到達4號站，都是從右往左駛入的。把列車從右往左駛入4號站看作每個周期的開始，因此第20次駛入4號站時，正好是在第4次駛入4號站的8個周期之后，即16×8=128（天）之后。

很明顯，列車從右往左行駛時，在到達4號站的前一天到達5號站，因此從第4次駛入4號站往后數(shù)128—1=127（天），就是第20次駛入5號站的日期。

127÷7=18……1，而列車第4次駛入4號站是星期六，因此第20次駛入5號站是星期日。