讓解題變得容易：一道學(xué)考數(shù)學(xué)題的解法探析

劉佛蓮 孔德 張遠(yuǎn)雄

教育數(shù)學(xué)思想是張景中院士在新疆15年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上作出的思考，于1989年正式提出，主張讓數(shù)學(xué)變得容易.“重建三角”“三共定理”是教育數(shù)學(xué)中的具體方案，受“三共定理”啟發(fā)，筆者對(duì)2023年云南省學(xué)業(yè)水平考試（以下簡(jiǎn)稱“學(xué)考”）數(shù)學(xué)試卷第23題的解法產(chǎn)生了思考，并得出一些啟示.

一、“三共定理”的內(nèi)涵

【證明思路】

根據(jù)共高定理，有

【證明思路】

如圖4，連接A′C，根據(jù)共邊定理，則有

二、一道學(xué)考數(shù)學(xué)題的解法探析

（一）試題呈現(xiàn)

題目：如圖5，BC是☉O的直徑，A是☉O上異于B、C的點(diǎn)，☉O外的點(diǎn)E在射線CB上，直線EA與CD垂直，垂足為D，且DA·AC=DC·AB，設(shè)△ABE的面積為S1，△ACD的面積為S2.

（1）判斷直線EA與☉O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若BC=BE，S2=mS1，求常數(shù)m的值.

（二）試題分析

從題目的設(shè)置上看，本題主要考查切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等；從知識(shí)點(diǎn)上看，涉及對(duì)直徑所對(duì)的圓周角是直角、垂線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容的考查；從核心素養(yǎng)層面看，主要考查學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)和推理能力等.

（三）解法探析

筆者主要對(duì)第（2）問的解法進(jìn)行探究，因此第（1）問不作詳細(xì)分析.

1.第（1）問解法

根據(jù)圖5，容易猜測(cè)直線EA與☉O相切，連接OA，如圖6所示.

∵BC是☉O的直徑，A是☉O上異于B、C的點(diǎn)，

∴∠BAC=90°.

∵ED⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠BAC=∠ADC=90°.

又∵DA·AC=DC·AB，

∴△BAC∽△ADC

∴∠2=∠4.

∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠4，∴OA∥CD.

∴∠EAO=∠ADC=90°，∴OA⊥AE.

∵OA是☉O的半徑，∴EA與☉O相切，切點(diǎn)為A.

【評(píng)析】實(shí)際上，得出∠1=∠4后，也可以直接由∠OAD=∠1+∠3=∠4+∠3=90°，得出OA⊥EA，無(wú)需再借助平行線的判定與性質(zhì).這樣可使解題思路更清晰，過程更簡(jiǎn)潔.

2.第（2）問的解法探析

思路一：作輔助線

解法1：作輔助線的方法是2023年云南省數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中給出的解法，具體如下：

如圖7，過點(diǎn)B作ED的垂線BF，垂足為F.

∵OA∥CD，

在Rt△EBF中，BF=BE·sin∠E，同理CD=EC·sin∠E，

【評(píng)析】該解法利用平行線間線段的比例關(guān)系、正弦分別表示出△ABE與△CAD的底邊之比、高之比，進(jìn)而求出△ABE、△CAD的面積之比.實(shí)際上，過點(diǎn)B作ED的垂線BF（即△ABE的高）的過程并不容易想到，該解法的難點(diǎn)也就在于作出這條輔助線.由此筆者不禁思考，若不作輔助線，該題又該如何解答？

思路二：無(wú)輔助線

解法2：相似三角形+勾股定理.

∵OA⊥DE，∴∠OAE=90°.

∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=90°，∠OAC=∠OCA，

∴∠BAE=∠OCA.

又∵∠E為△EAB與△ECA共同的角，

∴△EAB∽△ECA.

由第（1）問可知△BAC∽△ADC，

解法3：共角定理.

如圖8，∵BC=BE，∴S△EAB=S△ABC=S1（共高）.

由（1）可知：△BAC與△ADC中，∠BCA=∠ACD，

∵∠E為共角，∠OAE=∠CDE=90°，

∴△OAE∽△CDE.

【評(píng)析】在解題過程中，不僅可以發(fā)現(xiàn)圖形中存在共高三角形，由于圖中存在多組相似三角形，容易發(fā)現(xiàn)存在多組共角三角形.這一解法是對(duì)“共角定理”的應(yīng)用，由共

解法4：共邊定理.

如圖8，∵BC=BE，∴S△EAB=S△ABC=S1（共高）.

∵OA∥CD，

∴4S2=2S1+S2，

三、解題啟示

1.開闊解題視野，助力拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)

黨的二十大報(bào)告指出，堅(jiān)持教育優(yōu)先發(fā)展，人才引領(lǐng)驅(qū)動(dòng)，全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才.拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是教育的時(shí)代使命，教師應(yīng)深入課程改革，積極探索，更新教學(xué)理念，提升自身專業(yè)水平，從而切實(shí)提升拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)質(zhì)量.因此，教師對(duì)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)不應(yīng)受限于教材內(nèi)容、考試內(nèi)容要求等.張景中院士所提出的“三共定理”及其證明簡(jiǎn)明易懂，便于學(xué)生掌握，為學(xué)生解題提供新思路，不失為一種好的解題思想與方法.“三共定理”的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，不僅有利于開闊教師和學(xué)生的視野，提升教師專業(yè)水平，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，助力拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng).

2.關(guān)注思維培養(yǎng)，促使數(shù)學(xué)解題變得容易

構(gòu)造輔助線往往是求解幾何問題的難點(diǎn)，是學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的凝結(jié)，考驗(yàn)學(xué)生對(duì)題目的敏感度，而對(duì)多數(shù)學(xué)生而言，如何作出適合的輔助線成了解題過程中的困擾.將“三共定理”應(yīng)用于幾何解題，實(shí)現(xiàn)了面積比與線段比之間的相互轉(zhuǎn)化，為學(xué)生解決幾何問題搭建了新的腳手架，提供了新的解題思路，一定程度上突破了解題時(shí)添加輔助線的難點(diǎn).此外，傳統(tǒng)幾何問題的解決通常依賴于相似或全等三角形，但學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)，證明過程較為煩瑣.相對(duì)而言，共高、共角、共邊三角形是更為常見的幾何圖形，普遍存在于幾何題目中，更易于發(fā)現(xiàn).因此，“三共定理”的適用范圍較廣，若能將“三共定理”作為學(xué)生的儲(chǔ)備知識(shí)，不僅有助于學(xué)生思維的培養(yǎng)與提升，也找尋到了一條路徑，使數(shù)學(xué)解題變得容易，讓數(shù)學(xué)變得更容易學(xué).

3.培養(yǎng)幾何直觀，加速數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地

共高、共邊、共角三角形的圖形特征明顯，是幾何教學(xué)中一類基本的圖形，“三共定理”則是對(duì)這組模型的總結(jié)與應(yīng)用.解題過程中，熟悉并積極地應(yīng)用“三共定理”內(nèi)容，能夠幫助學(xué)生把陌生的、復(fù)雜的幾何圖形化歸為熟悉的、簡(jiǎn)單的幾何圖形，再結(jié)合學(xué)生解題的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，幫助學(xué)生形成解題的通性通法，讓數(shù)學(xué)解題變得容易，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心.此外，在解決幾何問題的過程中，教師要不斷提升學(xué)生觀察分析圖形的能力，讓學(xué)生積極感知幾何圖形及其組成要素，并能夠根據(jù)圖形特征進(jìn)行分類，引導(dǎo)學(xué)生自主提煉解題模型，強(qiáng)化學(xué)生的模型觀念，由此培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，真正實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的落地與發(fā)展.