旋轉相似是難點 模型分解尋突破

在圖形關系研究中，相似三角形占有重要地位。如果我們仔細觀察和整理，可以發現其揭示的豐富圖形關系中隱藏著一些經典模型。了解并掌握這些模型能夠幫助我們解決一些更復雜的相似變化問題。

一、“一轉成雙”識圖形

例1 如圖1，在△ABC中，D是BC上一點，∠B=∠ACE，[ABAC]=[BDCE]，連接DE。

求證：（1）[ABAC]=[ADAE]；（2）∠B=∠ADE。

【解析】（1）∵∠B=∠ACE，[ABAC]=[BDCE]，∴△ABD∽△ACE。∴[ABAC]=[ADAE]。

（2）∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD=

∠CAE。∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。∵[ABAC]=[ADAE]，∴[ABAD]=[ACAE]。∴△ABC∽△ADE。∴∠B=∠ADE。

【點評】本題由旋轉得相似，比較容易發現，旋轉圍繞的是公共頂點A。第一組相似為第二組相似提供了角之間的數量關系，兩組相似在轉化的過程中形成了更為豐富的邊的比例關系。

二、“一線三等”能對應

例2 如圖2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點P是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），點D是AC邊上的一個動點，且∠APD=∠B。

（1）求證：△ABP∽△PCD；

（2）當點P為BC中點時，求CD的長。

【解析】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C。

∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD。

∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD。

（2）∵BC=12，點P為BC中點，∴BP=PC=6。∵△ABP∽△PCD，∴[ABPC]=[BPCD]，即[106]=[6CD]。解得CD=3.6。

【點評】“一線三等角”模型是相似問題中的典型問題，“三等角”是直角時，呈現特殊的“K”型。

三、綜合應用會構圖

例3 如圖3，將?ABCD繞點A逆時針旋轉到?AB′C′D′的位置，使點B′落在BC上，B′C′與CD交于點E。若AB=3，BC=4，BB′=1，則CE的長為 。

【解析】解法1：如圖4，根據旋轉可知AB=AB′，所以∠B=∠AB′B。又因為?ABCD繞點A逆時針旋轉到?AB′C′D′，

可以先證△ABB′∽△ADD′，得到[ABAD]=[BB′DD′]，代入已知線段，得到DD′=[43]，DC′=[53]。再證△DEC′∽△B′EC，得到[ECEC′]=[B′EDE]=[B′CDC′]，從而得CE=[98]。

解法2：如圖5，過點C′作C′M∥BC，交DC于點M。構造△C′EM與△B′EC相似，需要證△ABB′∽△ADD′以及△DMC′∽△ABB′，提供線段數量關系，求得CE。

解法3：如圖6，過點C作CF∥DC′交B′C′于點F。先證△ABB′∽△ADD′。再證△ABB′∽△B′FC。得到CF=1。因為CF∥DC′，所以△DEC′∽△CEF。繼而得到比例式，求得CE。

【點評】解法1以CE為研究對象，沒有添加輔助線，從直觀上感知△ABB′與△ADD′可以通過旋轉相似，△DEC′與△B′EC可以通過翻折相似；解法2以CE所在的三角形△B′CE為對象，借助平行輔助線，從與BC平行的路徑考慮，以“X型”為方向進行構圖；解法3是基于“一線三等角”模型來構圖的，這里以BC為“一線”，“三等角”是∠ABB′=∠AB′E=∠B′CF。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學初中部）