它山之石可攻玉

本章內(nèi)容較多且有一定的難度，建議同學(xué)們從基礎(chǔ)抓起，夯實(shí)基本概念和性質(zhì)。現(xiàn)和大家分享在學(xué)習(xí)中較為常見(jiàn)的幾類錯(cuò)誤，避免再犯類似錯(cuò)誤。

一、比例的性質(zhì)認(rèn)識(shí)不清

例1 已知[x2]=[y3]=[z4]≠0，求[4z2x+3y]的值。

【錯(cuò)誤解答】由題意得x=2，y=3，z=4。所以[4z2x+3y]=[4×42×2+3×3]=[1613]。

【正確解答】設(shè)[x2]=[y3]=[z4]=k，則x=2k，y=3k，z=4k。所以[4z2x+3y]=[4×4k2×2k+3×3k]

=[1613]。

【點(diǎn)評(píng)】本題的錯(cuò)誤發(fā)生在第一步。我們可以把單獨(dú)的[x2]、[y3]、[z4]理解成比值，那么本題比值相等，但比值不一定就是1。比值為1只是本題比值眾多可能性中的一種特殊情況，我們不能犯“以偏概全”的錯(cuò)誤。我們可以將本題的比值用字母表示。就本題而言，比值k可以表示除0以外的任一數(shù)值，則此題可解。

二、相似三角形的性質(zhì)定理認(rèn)識(shí)不清

例2 如圖1，點(diǎn)E在?ABCD的邊AD上，連接BE并延長(zhǎng)，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。若[AEED]=[32]，求△DEF與四邊形EBCD的面積比。

【錯(cuò)誤解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD。∴△ABE∽△DFE。

∴[EFBE]=[DEAE]=[23]。

∴[S△DEFS四邊形EBCD]=（[DEAE]）2=[49]。

【正確解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC。

∴△ABE∽△DFE。

∴[EFBE]=[DEAE]=[23]。

∵AD∥BC，∴△FED∽△FBC。

∴[EFBF]=[DEBC]=[EDAD]=[25]。

∴[S△DEFS△FBC]=（[EFBF]）2=（[25]）2=[425]，

∴[S△DEFS四邊形EBCD]=[421]。

【點(diǎn)評(píng)】相似三角形性質(zhì)定理1：相似三角形面積的比等于相似比的平方。該定理的使用前提是“相似三角形”，而本題的問(wèn)題是“△DEF與四邊形EBCD的面積比”，不能直接使用相似三角形性質(zhì)定理1。因此，本題需要將“三角形與四邊形面積比”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“相似三角形面積比”的問(wèn)題。

三、對(duì)相似的“對(duì)應(yīng)”理解不到位

例3 已知△ABC與△DEF相似，∠A=∠D=50°，∠B=60°，求∠E。

【錯(cuò)誤解答】∵△ABC∽△DEF，

∴∠E=∠B=60°。

【正確解答】（1）當(dāng)∠B與∠E為對(duì)應(yīng)角時(shí)，則△ABC∽△DEF。

∵△ABC∽△DEF，

∴∠E=∠B=60°。

（2）當(dāng)∠B與∠F為對(duì)應(yīng)角時(shí)，則△ABC

∽△DFE。

∵△ABC∽△DFE，∴∠E=∠C。

∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=180°-∠A-∠B。

∵∠A=50°，∠B=60°。

∴∠E=∠C=70°。

綜上所述，∠E=60°或70°。

【點(diǎn)評(píng)】在相似三角形的學(xué)習(xí)中，我們要特別關(guān)注對(duì)“對(duì)應(yīng)”的理解。本題由題意∠A=∠D=50°，可知∠A與∠D為對(duì)應(yīng)角。“△ABC與△DEF相似”是典型的用文字描述相似，可是“誰(shuí)與誰(shuí)對(duì)應(yīng)”不清楚。因此，我們?cè)谟梅?hào)語(yǔ)言表示相似時(shí)，要先理清“對(duì)應(yīng)”的角（或邊）。

同學(xué)們，在“圖形的相似”的學(xué)習(xí)中，可能還有很多這樣或那樣的錯(cuò)誤，但總結(jié)起來(lái)，這些錯(cuò)誤大多可以歸納為3種：相關(guān)概念理解不對(duì)（如例1），性質(zhì)（定理）適用范圍弄錯(cuò)（如例2），思維不縝密而造成的漏解（如例3）。不僅僅是在“圖形的相似”這一章，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們都要加強(qiáng)對(duì)概念、性質(zhì)的學(xué)習(xí)和理解。在分析問(wèn)題時(shí)，思維要縝密，特別是遇到涉及圖形的位置（畫(huà)圖）的問(wèn)題時(shí)，要多問(wèn)問(wèn)自己類似“這條線能不能換個(gè)方向”這樣的問(wèn)題，如此才能有助于提高數(shù)學(xué)解題能力。

（作者單位：江蘇省南京市第三十九中學(xué)）