一個“基本事實”的應用

【教材重現】在學習蘇科版數學九（下）“6.4探索三角形相似的條件”的過程中，我們學習過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

【初步體驗】（1）如圖1，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，DE∥BC。若AD=1，AE=2，DB=1.5，則EC= ，[AEAC]= 。

【解析】根據基本事實可以得到結論[ADAB]=[AEAC]，[DBAB]=[ECAC]，[ADDB]=[AEEC]，強化線段的“對應”關系，在線段的對應中得到對應線段成比例的結論，無論是在部分線段還是整體線段中均成立。

（2）已知：如圖1，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC。求證：△ADE∽△ABC。［請依據相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應成比例，那么這兩個三角形相似），以及上面的基本事實，完成證明。］

【解析】由題意知，在△ADE和△ABC中，各角分別相等，且[ADAB]=[AEAC]。要說明△ADE∽△ABC，只需要[ADAB]=[DEBC]。為此，把DE平移到FC的位置（作DF∥AC，交BC于點F）就可以了。

【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于D、F、E點，那[AEEC]·[BDDA]·[CFFB]是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由。

【解析】本題的關鍵突破點在于驗證[AEEC]·[BDDA]·[CFFB]的結果。我們觀察圖形和所求的式子，發現該式也是線段成比例的關系，因此可以考慮基本事實的結論。作BG∥EF，交AC于點G，利用平行線分線段成比例定理得[BDAD]=[EGAE]，[CFFB]=[CEEG]，代入計算即可。

（4）如圖3，在△ABC中，D為BC的中點，AE∶EF∶FD=4∶3∶1，則AG∶GH∶AB= 。

【解析】過點D作DP∥AB，交CH于點Q，交CG于點P，如圖4。

∵AE∶EF∶FD=4∶3∶1，∴AE=ED。

∵DP∥AB，∴AG=DP。

∵點D為BC的中點，DP∥AB，

∴[DPBG]=[12]，[DQBH]=[12]。∴AG=[13]AB。

∵[AFDF]=[71]，DQ∥AH，∴[DQAH]=[17]。

∴AH=[72]HB。∴AH=[79]AB。

∴HG=[79]AB[-13]AB=[49]AB。

∴AG∶GH∶AB=[13]AB∶[49]AB∶AB=3∶4∶9。

【尺規作圖】上述基本事實啟發我們可以用“平行線分線段成比例”解決下列問題：

（5）如圖5，已知△ABC和線段a，請用直尺與圓規作△A'B'C'。

滿足：①△A'B'C'∽△ABC；

②△A'B'C'的周長等于線段a的長度。（保留作圖痕跡，并寫出作圖步驟。）

作圖方法：①延長BA到D，使得AD=AC，延長AB到E，使得BE=BC；②過點D畫一條線段DF，使得DF=a，連接EF；③過點B作∠DBB'=∠DEF，交DF于點B'，過點A作∠DAA'=∠DEF，交DF于點A'；④以點A'為圓心，A'D為半徑畫弧，以點B'為圓心，B'F為半徑畫弧，兩弧交于點C'；⑤連接A'C'，B'C'，如圖6，△A'B'C'即為所求。

（作者單位：江蘇省南京市第五十中學）