從特殊到一般，鞏固模型思想

圓和相似之間的聯動常常使同學們在做題時無從下手。比如，圖1中有幾對相似三角形呢？你能盡快找出來嗎？如果你遇到困難，讓我們繼續往下探究此圖吧。

一、 從一條高到兩條高

例1 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點D。圖中有幾對相似三角形？

【解析】3對，分別是△ACD∽△CBD，△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC。

例2 如圖3，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為點D，CE⊥AB，垂足為點E。圖中有幾對相似三角形？

【解析】6對，分別是△BOE∽△COD，△BOE∽△BAD，△BOE∽△CAE，△COD∽△CAE，△COD∽△BAD，△CAE∽△BAD。

例3 連接圖3中的ED，△AED∽△ACB嗎？證明你的結論。

【解析】先說明Rt△ABD∽Rt△ACE，得[ABAD]=[AEAC]。又∠DAE=∠BAC，所以△AED∽△ACB。

二、 從相似到圓

例4 如圖3，看到∠BEC=∠CDB=90°，你能想到什么？你能用圓的知識解釋前面的結論嗎？

【解析】由∠BEC=∠CDB=90°聯想到90°圓周角所對的弦為直徑，所以可以畫出一個以BC為直徑，E、B、C、D共點的圓，于是開頭的圖1出現了。

∵如圖1，四邊形EBCD為圓的內接四邊形，∴∠EDC+∠EBC=180°。

∵∠EDC+∠ADE=180°，

∴∠EBC=∠ADE。

∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC。

例5 圖1中有幾對相似三角形？

【解析】8對，在例2的基礎上多出△ADE∽△ABC，△EOD∽△BOC。

三、 從圓中的特殊弦（直徑）到一般的弦

例6 如圖4，圖中有幾對相似三角形？

【解析】4對，分別是△ADE∽△ABC，△EOD∽△BOC，△EOB∽△DOC，△DAB∽△EAC。

例7 如圖5，在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，AD的延長線交△ABC的外接圓于點E，連接BE、EC，求證：△ABE∽△CDE。

【解析】∵AB=AC，∴[AB]=[AC]。

∴∠AEB=∠AEC。

又∵∠BAE=∠DCE，

∴△ABE∽△CDE。

此外，還有△AEC∽△BED，△ABD∽△CED，△ACD∽△BED，△ABD∽△AEB，△ACD∽△AEC。

我們知道，圓上任意三點相連就可以形成三角形，而圓是中心對稱圖形，有無數條對稱軸，這就造成了圓的一些特殊性質，比如：

（1）直徑所對的圓周角為直角，90°圓周角所對的弦為直徑；

（2）平分一般弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；

（3）圓的切線與過切點的半徑垂直；

（4）同弧所對的圓周角相等；

……

結合這些性質，圓中就會有非常多的相似三角形。只有熟悉并熟練掌握了圓中有關三角形的相似模型，才能快速制勝。

（作者單位：江蘇省南京市金陵匯文學校）