整體統領 路徑建構

第七章 銳角三角函數

領" 銜" 人：王競進（正高級教師）

組稿團隊：江蘇省建湖縣王競進初中數學名師工作室

“銳角三角函數”是幾何知識與函數知識相結合的一章。因此，學習本章知識時，我們需要從整體的視角把握全章知識內容，通過類比的方法思考知識生長的一般路徑，從而建構全章知識。

一、整體感知全章知識

在此之前，我們已經系統學習了平面圖形的認識、全等三角形以及圖形的相似。因此，教材以生活中的實際問題為背景，并從同學們已有的相似三角形的有關知識出發，引入銳角三角函數的概念。

“銳角三角函數”本質上屬于三角學。中學數學把三角學分成兩部分：第一部分安排在初中階段，主要研究銳角三角函數的概念和解直角三角形；第二部分安排在高中階段，主要研究任意角的三角函數、解斜三角形等。雖然我們在學習本章時看到的大部分是特定符號（sin、cos、tan）和比值，沒有顯而易見的函數表達式，但其只是隱去了函數與自變量之間的關系，本質還是函數。隨著學習的深入，我們一定會類比之前學過的函數知識理解銳角三角函數應有的函數意義。

二、不同視角分析應用知識的一般路徑

作為以幾何為背景的銳角三角函數，本章在引出概念后，介紹了30°、45°、60°特殊角的三角函數值，以及借助計算器由已知銳角求得三角函數值和由已知三角函數值求對應銳角，其中滲透了銳角三角函數值的性質和判定，進而探尋直角三角形邊、角之間的關系。

我們利用直角三角形中邊、角之間的關系，根據直角三角形中已知元素，選擇恰當的方法求得其他未知元素，且應用仰角、俯角、坡度、坡比等相關知識解決一些簡單的生活實際問題，這些都體現出研究幾何問題的一般路徑：實際問題→抽象形成概念→圖形的性質→圖形的判定→應用。

作為代數中函數知識的銳角三角函數，它與三類常見函數的不同之處在于函數的表達式不同。初中階段的函數定義為：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。

我們通過探究，發現：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，點B1在邊AB上，B1C1⊥AC，垂足為C1，則有[BCAB]=[B1C1AB1]，即如果直角三角形中一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與斜邊的比值也確定，我們把這個確定值確定為這個銳角的正弦。類比正弦，我們也可以給出銳角的余弦、正切的概念。

教材中明確指出：“Rt△ABC中，[ac]、[bc]和[ab]的值都隨∠A的大小變化而變化，都隨∠A的大小確定而唯一確定。”所以sinA是∠A的函數。同樣，cosA、tanA也是∠A的函數。顯然，銳角三角函數符合初中階段的函數定義，自變量是銳角，函數是（直角三角形中某兩邊的）比值。因此，在此基礎上，定義：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數。

盡管三角函數與我們前面研究的三類常見函數的表達式不同，但研究路徑一致，即感受實例中的變量關系→形成概念及其表達形式（表格、圖像、表達式）→研究函數的圖像與性質→運用函數解決簡單的問題。

三、整體領略本章蘊含的數學思想方法

在本章知識的探究過程中，我們一起經歷了數形結合的數學思想，感受到隨著銳角θ的增大或減小，sinθ、cosθ、tanθ的變化情況。我們根據銳角三角函數的概念，應用化歸的數學思想求得非直角三角形中銳角的三角函數值或邊長。同時，借助直角三角形的邊、角之間的關系，我們應用方程思想解直角三角形以及解決簡單的生活實際問題。

（作者單位：江蘇省建湖縣教育局教研室）