銳角三角函數易錯題例析

銳角三角函數是初中數學中的基本知識，是中考必考內容。不過，有些同學對銳角三角函數的理解存在很多問題，導致解題出錯。現將一些常見錯誤歸納如下，供大家參考。

一、對銳角三角函數的概念理解不透徹

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三邊都擴大3倍，則cosA的值（ ）。

A.放大3倍 B.縮小3倍

C.不變 D.無法確定

【錯解】A。

【錯因診斷】任意銳角的余弦值是指在直角三角形中，鄰邊與斜邊的長的比值。結合題意可知，三邊長度都擴大3倍，則∠A的鄰邊和斜邊都擴大3倍，其比值不發生變化。

【正解】在Rt△ABC中，∠A的鄰邊和斜邊都擴大相同的倍數，其比值不發生變化。故選C。

二、計算三角函數值時忽視直角三角形條件

例2 如圖1，點A、B、C均在4×4的正方形網格的格點上，則tan∠BAC=（ ）。

A.[13] B.[14] C.[15] D.[55]

【錯解】因為BC=2，AB=[25]，所以tan∠BAC=[BCAB]=[55]。故選D。

【錯因診斷】在直角三角形中，銳角的正切值等于對邊與鄰邊的比值。錯解忽略了求一個銳角三角函數值必須在直角三角形中這個前提。

【正解】如圖2，連接BD，借助網格易求得∠ADB=90°，BD=[2]，AD=[32]。那么，在Rt△ADB中，tan∠BAC=[BDAD]=[13]。故選A。

三、忽視三角函數值的取值范圍

例3 已知∠a為銳角，且sina是一元二次方程3x2-5x+2=0的一個根，求sina的值。

【錯解】解方程3x2-5x+2=0，得x1=1，x2=[23]。所以sina的值為1或[23]。

【錯因診斷】在直角三角形中，銳角的正弦值等于這個角的對邊與斜邊的比值，斜邊大于直角邊，故0＜sina＜1。所以sina=1應該舍去。

【正解】解方程3x2-5x+2=0，得x1=1，x2=[23]。因為0＜sina＜1，所以sina=[23]。

四、問題考慮不全面而漏解

例4 在△ABC中，AB=5，AC=[13]，sinB=[35]，則△ABC的面積是 。

【錯解】如圖3，過點A作AD⊥BC，垂足為D。在Rt△ADB中，AD=AB·sinB=5×[35]=3，BD=[AB2-AD2]=4。在Rt△ADC中，CD=[AC2-AD2]=2，則BC=BD+DC=6。所以S△ABC=[12]×BC·AD=[12]×6×3=9。

【錯因診斷】△ABC中已知兩邊及一角，但這個角不是已知兩邊的夾角，而是其中一邊的對角，屬于“邊邊角”問題。這樣的三角形并不唯一。如圖4，先畫AB=5，再確定已知角∠B，此時可求出點A到BC邊的距離為3，然后以A為圓心，[13]為半徑作圓。因為3＜[13]＜5，所以圓與射線BD有兩個交點。故本題應該考慮高AD在△ABC內部和外部兩種情況。

【正解】（1）高在△ABC內部，如圖3，解法同上。

（2）高在△ABC外部，如圖5，過點A作AD⊥BC，交BC延長線于D。由（1）知AD=3，BD=4，CD=2，則BC=BD-CD=2。所以S△ABC=[12]BC·AD=[12]×2×3=3。

綜上所述：△ABC的面積為3或9。

（作者單位：江蘇省建湖縣匯杰初級中學）