厘清概念 理順關系 解決問題

銳角三角函數與我們之前學習過的“相似三角形”“勾股定理”等內容緊密相連，同時也為高中階段更深入地理解和應用銳角三角函數打下基礎。因此，我們在本章學習時，需要厘清核心概念，理順直角三角形的邊角關系，進而解決生活中的實際問題。

一、厘清概念，清晰函數本質

如何理解銳角三角函數？我們以身邊的含30°角的三角板為例。根據之前學習的知識，無論30°角的對邊是多少，斜邊都是對邊的兩倍，這種比例關系就是正弦函數（sin）。這個比值其實是由30°角所決定的，與三角形的大小無關，只要角的度數確定了，這個比值也就確定了。與之類似的還有正切函數（tan）、余弦函數（cos）等。我們也可以求出45°角和60°角的三角函數值，發現當一個銳角確定后，其對應的三角函數值也隨之確定，即角和值之間存在一一對應的關系，這種關系正是銳角三角函數中“函數”一詞的由來。

二、理順邊角關系，巧解直角三角形

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其余5個元素之間有以下關系：

（1）三邊之間的關系：a2+b2=c2；

（2）兩銳角之間的關系：∠A+∠B=90°；

（3）邊、角之間的關系：sinA=[ac]，sinB=[bc]，cosA=[bc]，cosB=[ac]，tanA=[ab]，tanB=[ba]。

在掌握邊、角關系的基礎上，我們還要借助圖形來解決問題。我們要習慣將已知量在圖中標注出來，找到與已知量和所求量相關聯的三角形，弄清楚已知條件中各量之間的關系。若給的三角形是直角三角形，根據邊、角關系進行計算；若不是直角三角形，則要通過添加輔助線實現化斜（斜三角形）為直（直角三角形）。

例1 如圖2，在△ABC中，∠A＞90°，AB=10，tanB=[34]，tanC=[12]，求BC的長。

【分析】觀察圖形，我們不難發現，本題給予三角函數值的角都不在直角三角形中。因此，我們要通過添加輔助線實現化斜為直，即過點A作BC邊上的高AD，構造出兩個直角三角形，并根據所得的兩個直角三角形具有公共邊這一特征（設公共邊為x），借助銳角三角函數的概念，用含有x的代數式來表示出其他線段，列出方程，求出未知數，最后得到BC的長。

解：如圖3，過點A作AD⊥BC于點D，設AD=x。

∵tanB=[34]，tanC=[12]，

∴CD=2x，BD=[43]x。

在Rt△ABD中，

由勾股定理，得

AD2+BD2=AB2，

即x2+（[43]x）2=102。

解得x1=6，x2=-6（不合題意，舍去）。

∴AD=6，CD=2x=12，BD=[43]x=8。

∴BC=CD+BD=12+8=20。

三、強化“化歸”意識，解決實際問題

數學來源于生活，應用于生活。當我們在遇到要利用銳角三角函數的知識來解決生活中的實際問題時，首先應仔細閱讀題意，將實際問題數學化，然后緊扣解題關鍵——構造直角三角形，便可解決這類問題。

例2 如圖4，某學校實踐小組為了測量學校旗桿MN的高度，首先用測角儀在AB處測得旗桿端點M的仰角為30°，再往靠近旗桿方向前進5m至CD處，測得仰角為42°，已知測角儀高0.5m，求旗桿MN的高度（精確到0.1m）。

（參考數據：tan42°≈0.90，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，[3]≈1.73）

【分析】本題主要考查解三角函數的應用——仰角、俯角問題。我們可以借助仰角構造直角三角形，即延長AC，交MN于點H，構造出具有公共邊MH的兩個直角三角形（Rt△AMH和Rt△CMH），然后利用解直角三角形的方法求出MH的值，最后得到MN的值。

解：延長AC，交MN于點H，如圖5。

根據題意，得四邊形ABDC、四邊形CDNH、四邊形ABNH均為矩形，則∠CHN=90°，∴∠AHM=90°。

根據題意，得

HN=AB=0.5m，AC=5m，∠MCH=42°，∠MAH=30°。

在Rt△CMH中，

CH=[MHtan∠MCH]=[MHtan42°]≈1.11MH。

在Rt△AMH中，

AH=[MHtan∠MAH]=[MHtan30°]=[MH33]≈1.73MH。

∵AH-CH=AC=5，

∴1.73MH-1.11MH=5。

解得MH≈8.06m。

∴旗桿MN的高度為：MN=MH+HN=8.06+0.5=8.56≈8.6（m）。

答：旗桿MN的高度為8.6m。

我們只要厘清銳角三角函數的概念，把握好直角三角形的邊角關系，注重對實際問題的建模，就一定能夠學好“銳角三角函數”的知識。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級中學）