解網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)值

網(wǎng)格是大家熟悉的背景。在網(wǎng)格中研究格點圖形的特性，具有很強的操作性。網(wǎng)格題不僅可以有效鍛煉同學們動手動腦的能力，也能培養(yǎng)良好的識圖、畫圖、用圖的素養(yǎng)，更有利于同學們通過知識間的聯(lián)系，探求解題思路，培養(yǎng)推理能力。

一、直角格點三角形——勾股定理

例1 如圖1，點A、B、C在邊長為1的小正方形的格點上，求tan∠B。

【解析】點A、B、C均是格點，由勾股定理可分別求出△ABC各邊的長。AB=[25]，BC=[2]，CA=[32]，則△ABC為直角三角形，所以tan∠B=[ACBC]=3。

變式 如圖2，點A、B、C在邊長為1的小正方形的格點上，求tan∠BAC。

【解析】連接BC，易得△ABC為直角三角形，由勾股定理可得tan∠BAC=1。

【方法歸納】求一個銳角的三角函數(shù)值，應(yīng)將角放在一個直角三角形中，再計算相應(yīng)邊的長度比。

二、普通格點三角形——面積法或方程法

例2 如圖3，點A、B、C在邊長為1的小正方形的格點上，求sin∠A。

【解析】點A、B、C均是格點，但△ABC不是直角三角形，所以我們要通過作高構(gòu)造合適的直角三角形。

面積法：由圖4中網(wǎng)格可求得S△ABC=16-2-1.5-6=6.5，AB=5，AC=[10]。則由面積公式可得CD=2.6。所以sin∠A=[CDAC]=[131050]。

方程法：如圖5，可設(shè)AD=x，則BD=5-x。由勾股定理得10-x2=17-（5-x）2，解得x=1.8。所以CD=2.6。所以sin∠A=[CDAC]=[131050]。

【方法歸納】面積法和方程法是求一個普通格點三角形高的常用方法。

三、非格點三角形——轉(zhuǎn)化（移）

例3 如圖6，點A、B、C、D都在邊長為1的小正方形格點上，AB、CD相交于點O，則tan∠AOD= 。

【解析】點O不是格點，不易求相關(guān)線段的長度，故可借助平行，轉(zhuǎn)化角的位置。如圖7，作小方格對角線BE，連接AE，得CD∥BE，則∠AOD=∠ABE。故在△AEB中，易得tan∠ABE=2，即tan∠AOD=2。

例4 如圖8，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點A、B、O在格點上，則tan∠ACB= 。

【解析】點C不是格點，在△ABC中不易解決，但可以借助圓中“同弧所對的圓周角相等”，將∠ACB的位置進行轉(zhuǎn)化。如圖9，作小方格對角線OE，連接BE，則∠ACB=∠AEB。所以在△AEB中，易得tan∠AEB=[32]，即tan∠ACB=[32]。

【方法歸納】例3也可以把線段AB向上平移1個單位，把∠AOD的頂點轉(zhuǎn)化至點C處。例4也可以過點O作AB的垂線OD，垂足為D，則∠ACB=∠AOD，從而在直角△AOD中可求。

（作者單位：江蘇省鹽城市大豐區(qū)實驗初級中學益民路分校）