直擊中考考點(diǎn) 把握基本方法

銳角三角函數(shù)是中考必考知識(shí)點(diǎn)，除了基本概念的考查外，數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想也是中考的考查趨向。我們現(xiàn)以2023年遼寧省錦州市的一道中考題為例進(jìn)行解讀，一起感受數(shù)學(xué)思想方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

例 如圖1，是某校教學(xué)樓正廳一角處擺放的“教學(xué)樓平面示意圖”展板，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量此展板的最高點(diǎn)到地面的高度。他們繪制了圖2所示的展板側(cè)面的截面圖，并測(cè)得AB=120cm，BD=80cm，∠ABD=105°，∠BDQ=60°，底座四邊形EFPQ為矩形，EF=5cm。請(qǐng)幫助該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組求出展板最高點(diǎn)A到地面PF的距離（結(jié)果精確到1cm）。

（參考數(shù)據(jù)：[2]≈1.41，[3]≈1.73）

【分析】支架類問(wèn)題已經(jīng)成為中考三角函數(shù)問(wèn)題考查的熱點(diǎn)背景和載體。要想正確解答本題，必須根據(jù)題意，構(gòu)造出直角三角形，然后找出所求的鉛垂高。

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥PF于點(diǎn)G，與直線QE交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AG于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BM于點(diǎn)N。

∴四邊形DHMN、四邊形EFGH均為矩形。

∴MH=ND，HG=EF=5，BM∥DH。

∴∠NBD=∠BDQ=60°。

∴∠ABM=∠ABD-∠NBD

=105°-60°

=45°。

在Rt△ABM中，∠AMB=90°，

∵sin∠ABM=sin45°=[AMAB]，

∴AM=AB?sin45°

=120×[22]

=[602]。

在Rt△BDN中，∠BND=90°，

∵sin∠NBD=sin60°=[NDBD]，

∴ND=BD?sin60°

=80×[32]

=[403]。

∴MH=ND=[403]。

∴AG=AM+MH+GH

=[602]+[403]+5

≈60×1.41+40×1.73+5

≈159（cm）。

答：展板最高點(diǎn)A到地面PF的距離為159cm。

我們要知道，學(xué)習(xí)是為了解決生活中遇到的問(wèn)題。因此，雖然我們遇到的很多實(shí)際問(wèn)題涉及廣泛，但只要抓住問(wèn)題的本質(zhì)，構(gòu)造合適的圖形，利用好所學(xué)的思想方法，就能解決。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級(jí)中學(xué)）