在閱讀中抽象 在抽象中建模

解直角三角形是銳角三角函數知識的應用、延伸與升華，主要內容有測量距離、度量工件、工程技術等，涉及的數學思想主要是建模轉化。

一、厘清概念，提煉模型

1.俯角、仰角、方向角

初中階段的“俯角、仰角、方向角”主要出現在測量問題中。如圖1，從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角叫作仰角；從高處觀測低處目標時，視線與水平線所成的銳角叫作俯角。

正北或正南方向線與目標方向線所成的小于90°的角，叫作方向角，如圖2中的目標方向線OA、OB、OC、OD的方向角分別表示北偏西30°、北偏東45°、南偏東60°、南偏西70°。特別要注意，東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°。

2.坡度、坡比

如圖3，AB表示水平面，BC表示坡面，我們把水平面AB與坡面BC所形成的∠ABC稱為坡角，記作α；坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫作坡面的坡度（或坡比），記作i=tanα=[hl]。

二、構建模型，解決問題

讀懂生活中的“數學”，把它抽象成“幾何”圖形，利用銳角三角函數及勾股定理等知識直接計算或列出方程（組）求解。

例1 如圖4，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72°方向，距離燈塔100海里的A處。它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東40°方向上的B處。這時，B處距離燈塔P有多遠（結果取整數）？

（參考數據：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【分析】根據題意可得PC⊥AB，EF∥AB，從而可得∠A=∠EPA=72°，∠B=∠BPF=40°，然后在Rt△APC中，利用銳角三角函數的定義求出PC的長，再在Rt△BPC中，利用銳角三角函數的定義求出BP的長。

解：由題意得PC⊥AB，EF∥AB。

∴∠A=∠EPA=72°，∠B=∠BPF=40°。

在Rt△APC中，AP=100海里，

∴PC=AP·sin72°≈100×0.95

=95（海里）。

在Rt△BCP中，BP=[PCsin40°]≈[950.64]≈148（海里）。

∴B處距離燈塔P約有148海里。

【點評】解決此類問題的關鍵是尋找直角三角形，利用勾股定理或銳角三角函數建立邊和邊或邊和角的關系。

例2 雪上項目占據了2022年北京冬奧會的大部分比賽項目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳臺滑雪、無舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等。如圖5，某滑雪運動員在坡度為5∶12的雪道上下滑65m，則該滑雪運動員沿豎直方向下降的高度為（ ）。

A.13m B.25m C.[32512]m D.156m

【分析】根據“坡度”可得[BCAC]=[512]。在Rt△ABC中，設BC=5a，則AC=12a，再利用勾股定理列出關于a的方程，從而求出BC的值。

解：由題意得AB=65，BC⊥AC于點C。

∵斜坡AB的“坡度”是5∶12，

∴設BC=5a，則AC=12a。

由勾股定理，得

AB=[（5a）2+（12a）2]，即AB=13a。

∴13a=65，解得a=5。

∴BC=5a=25。故選B。

【點評】本題考查了“坡度”的概念以及方程思想。方程是刻畫現實世界等量關系的重要模型，方程思想在幾何計算題中有著廣泛運用。

例3 徐州電視塔是徐州市的標志性建筑之一，如圖6，為了測量其高度，小明在云龍公園的點C處，用測角儀測得塔頂A的仰角∠AFE=36°。他在平地上沿正對電視塔的方向后退至點D處，測得塔頂A的仰角∠AGE=30°。若測角儀距地面的高度FC=GD=1.6m，CD=70m，求電視塔的高度AB（精確到0.1m）。

（參考數據：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）

【分析】圖中有兩個直角三角形，即Rt△AEF和Rt△AEG。四邊形EBCF、四邊形FCDG是矩形，故可設EF=BC=xm，則GE=（x+70）m，分別在Rt△AEG和Rt△AEF中利用銳角三角函數表示出AE的長，從而列出關于x的方程。

解法1：根據題意，得GE⊥AB，EB=FC=GD=1.6m，FG=CD=70m，EF=BC。

設EF=BC=xm。

∴GE=EF+FG=（x+70）m。

在Rt△AEG中，∠AGE=30°，

∴AE=GE·tan30°≈0.58（x+70）m。

在Rt△AEF中，∠AFE=36°，

∴AE=EF·tan36°≈0.73x（m）。

∴0.73x=0.58（x+70）。

解得x≈270.67。

∴AE=0.73x≈197.59（m）。

∴AB=AE+BE=197.59+1.6≈199.2（m）。

∴電視塔的高度AB約為199.2m。

【點評】本題是典型的通過對線段AE“算兩次”列出方程求解，即在不同的直角三角形中用含x的代數式表示同一條線段AE，從而得到方程。

解法2：設AE=xm，則EF=[x0.73]，同理EG=[x+700.58]。根據線段的和差關系，得方程[x+700.58][-x0.73]=70。

此方程與解法1中的方程相比，求解較煩瑣。因此，一般情況下，我們遵循能“乘”毋“除”的原則。當然某些只能用“相除”方法的問題除外，比如例1中的BP=[PCsin40°]。

用聯系的、全局的眼光看待生活中的數學問題，從現實問題中抽象出數學模型，再通過類似問題比較和完善模型，最終找到數學知識的聯系點和依附點，尋求問題解決的一般思路與路徑，這是數學學習的價值所在。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學東校區）