統計和概率易錯題分析

統計和概率是初中數學的重要內容，與生活實際緊密聯系。部分同學初學感覺難度不大，但解題時又時常出錯。本文整理了一些易錯題，希望對同學們的學習有所幫助。

一、樣本不具有代表性

例1 第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行。本屆亞運會共設有42個競賽大項，這42個競賽大項包括31個奧運項目和11個非奧運項目，其中11個非奧運項目具有濃郁的亞洲特色或中國特色。為了調查全校學生最喜愛的亞運競賽項目情況，下列做法中，比較合理的是（ ）。

A.抽取八年級女生，了解她們最喜愛的亞運競賽項目

B.抽取七年級男生，了解他們最喜愛的亞運競賽項目

C.抽取九年級5個班的學生，了解他們最喜愛的亞運競賽項目

D.三個年級每班隨機抽取男生和女生各5名，了解他們最喜愛的亞運競賽項目

【錯誤解答】A。

【錯因剖析】在進行抽樣調查時，為了使調查結果盡可能準確、可靠，不僅要考慮樣本的隨機性，還要考慮樣本的廣泛性、代表性。A選項只選擇了八年級女生，年級、性別選擇都不全面，調查結果不可靠。B、C選項同樣如此。

【正確解析】本題主要考查了抽樣調查所選樣本的特性：隨機性、廣泛性、代表性，在調查時應針對具體問題考慮全面，所以選項D正確。

二、圖像信息獲取錯誤

例2 某公司的生產量在1—7月份的增長變化情況如圖1所示，從圖像看，下列結論正確的是（ ）。

A.這七個月中，每月的生產量不斷增加

B.1月份生產量最大

C.1—6月生產量逐月減少

D.這七個月中，生產量有增加，也有減少

【錯誤解答】C。

【錯因剖析】解題時首先應明確坐標軸所表示的實際意義，然后結合題目的條件進行分析選擇。圖像中縱軸表示的是增長率，不是生產量，所以1—6月份的增長率在下降，但是生產量在不斷增長，選項C錯誤。

【正確解析】本題考查折線統計圖、增長率等知識，解題的關鍵是讀懂圖像，理解題意，靈活運用所學知識解決問題。觀察折線圖可知，1—7月份的生產量一直在不斷增加，圖像起伏反映的是增長率的變化，而不是生產量的增減，由此可以判斷B、C、D三個選項都是錯誤的，選項A正確。

三、忽視結果的等可能性

例3 隨機擲一枚質地均勻的硬幣兩次，兩次正面都朝上的概率是 。

【錯誤解答】隨機擲一枚質地均勻的硬幣兩次，共出現3種結果：兩正、兩反、一正一反，所以兩次正面都朝上的概率是[13]。

【錯因剖析】隨機擲一枚質地均勻的硬幣兩次，會出現兩正、兩反、一正一反3種結果，但這3種結果不具有等可能性，所以解答錯誤。

【正確解析】本題考查的是概率的求法：如果一個事件共有n種結果，而且這些結果的可能性相同，其中事件A有m種結果，那么事件A的概率為[mn]。畫樹狀圖法和列表法可以幫助我們列舉等可能結果時既不重復又不遺漏。該事件應該共有4種等可能結果：正正、正反、反正、反反，其中兩次正面都朝上的概率是[14]。

四、錯誤理解有無放回

例4 一個不透明的口袋中有三張卡片，上面分別寫有數字1、2、3，除數字外三張卡片無其他區別?，F從中隨機抽取兩張卡片，則卡片上的數字之和是奇數的概率是 。

【錯誤解答】列表如下：

[結果 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 ]

由表格可知，共有9種等可能結果，其中兩次抽出數字之和為奇數的有4種結果，所以兩次抽出數字之和為奇數的概率為[49]。

【錯因剖析】一次性抽取兩張卡片，等同于先抽一張卡片，不放回，再抽第二張卡片，所以第一次抽到的卡片第二次是抽不到的。列表找等可能結果時出現了錯誤。

【正確解析】對于“抽多張卡片”和“摸多個小球”等類型的概率問題，我們一定要看清題目的表述，理解題目的含義，明確屬于“放回”還是“不放回”后，再列表求解。

列表如下：

[結果 1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5 ]

由表格可知，共有6種等可能結果，其中兩次抽出數字之和為奇數的有4種結果，所以兩次抽出數字之和為奇數的概率為[23]。

五、游戲公平判斷有誤

例5 甲、乙兩人做游戲，他們準備了一個質量分布均勻的正六面體骰子，骰子的六個面分別標有1，2，3，4，5，6。若擲出的骰子點數小于3，則甲贏；若擲出的骰子點數大于4，則乙贏。這個游戲對甲、乙來說是 的。（填“公平”或“不公平”）

【錯誤解答】因為甲贏的概率是[13]，不是[12]，所以游戲不公平。

【錯因剖析】在判斷游戲是否公平時認為只有當獲勝概率是[12]才公平，否則不公平，這種理解是錯誤的。

【正確解析】判斷規則是否合理、游戲是否公平，需要分別計算游戲中各方獲勝的概率再進行比較。相同得分規則下，概率相等就是公平的，概率不相等就是不公平的。如果游戲不公平，我們既可以修改游戲規則，也可以修改得分規則使其公平。

（作者單位：蘇州高新區實驗初級中學）