平行線拐點問題解題策略

在幾何證明中，作平行線是常用的輔助線引法. 同學們可以通過平行關系達到角的轉化和轉移.

模型：如圖1，AB[?]CD，則∠B = ∠E + ∠D.

策略一：過點E作MN[?]AB，如圖2，

[∵]AB[?]CD，[∴]MN[?]CD，

[∴]∠B = ∠BEN，∠D = ∠1.

[∵]∠BEN = ∠BED + ∠1，[∴]∠B = ∠BED + ∠D.

策略二：過點B作MN[?]DE，交CD于點N，如圖3，

[∴]∠E = ∠1，∠D = ∠3.

[∵]AB[?]CD，[∴]∠2 = ∠3，[∴]∠2 = ∠D.

[∵]∠ABE = ∠1 + ∠2，[∴]∠ABE = ∠E + ∠D.

策略三：過點D作MN[?]BE，交AB的延長線于點F，如圖4，

[∴]∠E = ∠1，∠3 = ∠4.

[∵]AB[?]CD，[∴]∠3 = ∠CDF，即∠3 = ∠1 + ∠2，

[∴]∠4 = ∠1 + ∠2，[∴]∠ABE = ∠E + ∠CDE.

策略四：在BE上取一點F，過點F作MN[?]DE，交CD于N，過點F作PQ[?]AB，如圖5，

[∴]∠PFE = ∠B，∠E = ∠1，∠3 = ∠D.

[∵]AB[?]CD，[∴]PQ[?]CD，[∴]∠2 = ∠3，[∴]∠2 = ∠D.

[∵]∠PFE = ∠1 + ∠2，[∴]∠B = ∠1 + ∠2，[∴]∠B = ∠E + ∠D.

策略五：延長EB交CD于F，如圖6.

[∵]AB[?]CD，[∴]∠1 = ∠2.

[∵]∠1 = ∠E + ∠D，[∴]∠2 = ∠E + ∠D，即∠ABE = ∠E + ∠D.

策略六：延長AB，交ED于點F，如圖7.

[∵]AB[?]CD，[∴]∠D = ∠AFE.

[∵]∠ABE = ∠E + ∠AFE，[∴]∠ABE = ∠E + ∠D.

模型變式

如圖8，AB[?]CD ，則∠D = ∠E + ∠B；如圖9，AB[?]CD ，則∠D = ∠E + ∠B；如圖10，AB[?]CD ，則∠B = ∠E + ∠D.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：3分鐘

1.如圖11，已知AE[?]BD，∠1 = 130°，∠2 = 30°，求∠C的度數. （答案見第31頁）

難度系數：★★★★ 解題時間：10分鐘

2.如圖12，AB[?]CD，∠ABK的平分線BE的反向延長線和∠DCK的平分線CF的反向延長線交于點H，∠K - ∠H = 27°，求∠K的度數. （答案見第31頁）

（作者單位：遼寧省實驗中學初中部）