伽瑪分布隨機變量和的尾概率界

宋 歡，華志強，郭佳曦

（內蒙古民族大學數學科學學院，內蒙古 通遼 028043）

在現實生活中，經常出現一些極端事件，例如臺風、地震、暴風雪等。尾概率界可以很好地描述極端事件發生的情況，隨機變量和構造的模型可以更好地描述保險的實際情況。近年來，連續分布隨機變量和的尾概率估計理論越來越受到重視，逐漸成為保險數學領域內的研究熱點之一［1-4］。JANSON［5］對服從幾何分布的隨機變量和的尾概率上下界進行估計；LU等［6］對服從幾何分布隨機變量和的尾概率界進行改進，把得到的結果與JANSON［5］的結論進行比較。WANG 等［7］利用JANSON［5］的證明方法，為伽瑪分布隨機變量和提供了尾概率界；侯云艷等［8］討論了在指數分布下，獨立和負相依的隨機變量和的尾概率界；LU等［9］研究了將具有幾何隨機變量的概率模型應用于破產概率的上下界和漸近估計中。在此基礎上，做了如下工作：1）將WANG等［7］中關于伽瑪分布隨機變量和的尾概率界通過引入伽瑪分布的方差，得到服從伽瑪分布隨機變量和的尾概率更加精細的上下界；2）利用LU等［9］中精細界限的檢驗方法，得到服從伽瑪分布隨機變量和的尾概率更為良好的界限。

1 預備知識

1.1 基礎概念

定義1［10］若隨機變量ξ的密度函數為

其中α,β＞0，則稱ξ是服從參數為α和β的伽瑪分布，記為ξ～Ga(α,β)。

設η1,…,ηn是彼此相互獨立的隨機變量，且ηi～Ga(αi,βi)，i=1,…,n，定義ξ=，記：μ=Eξ=。

由伽瑪分布的概率母函數可知，對任意的非零實數z滿足0＜z＜eβ*時，有

1.2 基本不等式

1.3 相關引理

引理1［10］令ξ為非負隨機變量，則對任意x＞0,t≥0，有

引理2［7］在滿足WANG等［7］中引理4.4的條件下，對于任意x＞0，z≥1，滿足z(1-p*)＜1時

引理3［7］當其中ηi～Ga(αi,βi)，αi≥1，βi≥0，i=1,…,n，且η1,…,ηn是彼此相互獨立的隨機變量，則對任意的y,z∈R+，y≥z，有

2 主要結論

全文記ηi～Ga(αi,βi)，i=1,…,n，是彼此相互獨立的隨機變量，αi,βi∈R+。對于θ≥1 時，WANG 等［7］給出了一個上界

將式（6）結合Markov不等式，可以得到一個關于伽瑪分布隨機變量和更為精準的上界。

定理11）當時，

證明由式（1）和引理1可知，對于任意t＜β*，可得

推論11）當θ∈[1 ,∞)，β*滿足時，有

證明1）當θ=1 時，式（11）結論成立。接下來，令g(θ)=，由于g(θ)為單調遞增函數，則由結合極限可知，當時，有成立，從而可證式（11）。

WANG等［7］通過引理2得到了一個關于定理1結果更為精確的上界：

當θ較小時，通過引理2可以得到以下結論。

定理2對任意βi＞0,i=1,…,n，當時，有

證明為逼近伽瑪分布隨機變量，引入離散的負二項分布隨機變量。令，其中，Yi～NB(ri,pi)，i=1,…,n是獨立隨機變量。記

由負二項分布的概率母函數可知

結合式（2）、式（15）和式（16），當1-z-1≤c0p*時，

利用式（17）、引理1和引理2，可得

為了選取合適的值，利用JANSON［5］中z的取值，即

其中，f(θ)=-(θ-p*)ln(θ-p*)+θlnθ。利用凸函數f(x)=-ln(1-x)的性質，可以得到

其中c1=p*v+。

設N＞1，為自變量序列，其中ri=αi＞0，pi=＜1，i=1,…,n。由式（1）結合式（16），對任意的i=1,…,n，有，N→∞。

其中c2=。

推論2在定理2的條件下，當θ≥，并且≤-ln(1-c0)-1時，有

證明當θ≥exp，有。又因為-1，可得因此，可證得定理2得到的上界比式（13）更加精細。

當β*較小時，類似定理2的證明方法，可以得到以下定理。

定理3當并且β*∈(0,c0]時，有

其中c2=β*μ+β*2σ2。

證明利用式（2）來代替凸函數f(x)=-ln(1-x)，當p*∈時，式（21）可成為

結合式（20）和式（24），由式（22）的條件得知

由式（23）定義可知

當θ≤1時，與JANSON［5］中的證明方法類似，可以得到

定理4對于任意β1,...,βn∈(0,1]，當θ≤1時，有

證明類似定理1的討論，當0 ≤t＜β*時，有

將式（3）代入式（27）中，可知

把t=代入式（28）中，即可證得定理。

推論3當θ≤1并且時，有

證明即要證。利用式（5），可以得到

當θ≤1時，WANG等［7］提出了P(ξ≥θμ)的一個下界形式：

通過使用WANG等［7］中的引理3，可以得到一個更為精確的下界。

定理5對于任意αi≥1，βi＞0，并且θ≥1有

證明令ε=，在定理4中取θ=1-ε，結合式（4），可以得到

由式（31）結合引理3，可以得到

推論4當時，有。

3 結束語

1）對θ的范圍進行限制，進而改進了服從伽瑪分布隨機變量和的尾概率界的范圍；2）在改進的尾概率界的基礎上，對β*的取值范圍進行規定從而進一步優化服從伽瑪隨機變量和的尾概率界；3）將得到的服從伽瑪分布隨機變量和的尾概率界與原有的尾概率界進行對比，所獲得的尾概率界是較為良好的。