B樣條擬插值算子在Orlicz空間中的逼近

閆麗新，韓領兄

（內蒙古民族大學數學科學學院，內蒙古 通遼 028043）

1 預備知識

首先介紹Orlicz空間［1］。

定義1［1］設定義在R=(-∞,+∞)上滿足如下性質：

1）M(u)是偶的連續的凸函數且M(0)=0；

2）當u＞0時M(u)＞0；

由定義得出存在非減的右連續函數p(t)，使得

其中p(0)=0，p(∞)=∞。

定義2［1］N函數M(u)的余N函數N(v)定義為：

其中q(s)=為p(t)的右反函數。

定義3［1］由N函數M(u)在閉區間[a,b]上生成的Orlicz空間是指具有有限Orlicz范數

的可測函數全體{u(x)} 。這里ρ(v,N)=是關于v(x)的模。

Orlicz范數還可以表示為：

定義4［2］設，r≥1，t≥0，稱

為K泛函，其中f在(a,b)上局部絕對連續}。

定義5［2］設，r≥1，t≥0，則稱

為f的r階連續模或r階光滑模，其中

稱為f在x點上步長h的r階差分。

關于K泛函及光滑模具有以下等價性質［2］，即存在常數A1與A2不依賴于f和t，有

文中C表示與x無關的常數，在引理1、引理2及定理1的證明中不同的地方其值也不同。

自20世紀以來，函數逼近論已成為函數理論中最重要的分支之一。而在Orlicz空間中研究算子逼近是逼近論的一個重要分支，近年來已經有很多學者在這方面取得了很好的成果［3-7］。同時，關于B樣條相關算子在不同空間的研究也已經有了很好的結果［8-11］，但是還沒有關于B樣條擬插值算子在Orlicz空間中的研究成果。下面給出了B樣條及B樣條擬插值算子的定義。

先介紹B樣條定義。

定義6［9］設a=x0＜x1＜x2＜…＜xN＜xN+1=b為一組節點，分段函數S(x)滿足下面條件：

1）每個區間[xj,xj+1](j=0,…,N)上，S(x)是一個次數小于等于n的實系數代數多項式；

2）S(x)于[a,b]上具有一直到n-1 階的連續導數，那么稱y=S(x)是n次樣條函數，稱x1,x2,…,xN為樣條節點。

定義7［9］m階B樣條的定義為：

當m≥2 時

下面介紹B樣條擬插值算子的定義。

定義8［12］設對于?k≥2，X=是單調上升的點列，記

用任意m階B樣條去構造擬插值算子(Sh f)(x)，

郭紅焱在文獻［9-11］中構造了B樣條擬插值算子并分別研究了其在C空間及Lp空間的逼近階，并在文獻［10］中得出了下列定理。

定理A［10］若對?m≥2，X=是單調上升的點列，則當h=sup(xj+1-xj)時，對[a,b]上任意滿足m次可導且m次導數連續的函數f(x)有

推論［10］若對任意m≥2，X=是單調上升點列，則當h=sup(xj+1-xj)時，對[a,b]上任意的函數f(x)，若滿足m次可導并且m次導數連續，則有

而近幾年，隨著非線性問題的增多，將Lp空間過渡到Orlicz空間已是必然，筆者在文獻［10］的基礎上研究了B樣條擬插值算子在Orlicz空間上的逼近性質，推廣了文獻［10］中的結果。

2 主要結果

筆者得出了B樣條擬插值算子在Orlicz空間的逼近正定理。

定理1若對任意m≥2，X=為單調上升點列，當h=sup(xj+1-xj)時，對[a,b]上任意的m次連續可導函數g(x)，有

則對?f∈L*M[a,b]，有

為了給出定理的證明需要以下幾個引理。

引理1若對?m≥2，X=是單調上升的點列，則當h=sup(xj+1-xj)時，對，

則‖Sh‖有界。

證因為

其中Zj(f)是f(xj)，f(xj+1)，…，f(xj+m)的組合。由文獻［13］可知

再根據B樣條的正定性和再生性［9］，由定義8可得

引理2若對任意m≥2，為單調上升點列，當h=sup(xj+1-xj)時，對[xj,xj+1]上任意m次連續可導函數g(x)，則有

滿足

證由引理1及g(x)滿足的性質，在x0附近有

其中ξ介于x與x0之間。

又記

此時不妨設|x-x0|＜h，則有

又由B樣條再生性［10］可知(Sh f)(x)具有m-1次局部多項式再生性質，所以有

從而得

定理1的證明由引理2得

從而利用K泛函的定義，得

由式（1）得

3 結論

將B樣條擬插值算子在Lp空間的逼近推廣到Orlicz空間，對B樣條擬插值算子在Orlicz空間有界性進行了研究，并得出了其在Orlicz空間的逼近正定理。