基于新交叉熵的灰關聯雙向投影多屬性決策方法

尹圓圓，江登英,2

（1.武漢理工大學理學院，武漢 430070；2.華北電力大學數理學院，北京 102206）

0 引言

決策問題通常涉及多個目標和多個變量，因此，決策者在處理問題時通常會用多個值來表達觀點，而不僅僅是一個確定的值，表現出一定的猶豫性。因此，西班牙學者Torra 提出了猶豫模糊集（hesitation fuzzy set，HFS）[1]的概念，指出一個元素屬于一個集合的隸屬度可以是幾個不同的值。隨后，Xu和Xia（2011）[2,3]給出了HFS的數學表達形式，提出了猶豫模糊數（hesitation fuzzy number，HFN）的概念，并給出了猶豫模糊距離及相似度的測度方法，為HFN在多屬性決策領域的應用奠定了堅實的理論基礎。

在猶豫模糊多屬性決策問題中，學者們常常用熵測度來確定屬性權重，其中的交叉熵測度主要是測量兩個集合之間的差異程度。文獻[4]提出直覺模糊條件下的交叉熵和直覺模糊熵的公式，并將其應用于群決策。文獻[5—8]提出熵、交叉熵、距離測度及相似度測度之間的聯系和公理化定義，并將其應用到區間模糊集環境中。文獻[9]將模糊集（fuzzy set，FS）的熵、交叉熵推廣到了HFS 并提出了HFS的交叉熵測度和熵的公理化定義。文獻[10]定義了一個新的交叉熵公式，并將其與其他距離公式進行對比分析，驗證了該交叉熵具有更高的區分度。

灰關聯投影法將灰關聯分析與投影法有機結合，能夠全面分析所有屬性之間的關聯，是一種有效的多屬性決策方法[11,12]。學者們將其拓展到FS、D 數集、直覺FS、中智FS、區間對偶HFS等。之后又有學者提出將灰關聯與雙向投影法相結合，既能討論全部屬性之間的關聯性，又能避免單方面投影的偏差。目前該方法主要被應用于畢達哥拉斯HFS[13]、Trapezoidal Type-2直覺模糊集[14]、猶豫直覺模糊語言集[15]等環境中，但較少有文獻在一般HFS中討論其用法。因此，本文將灰關聯雙向投影法拓展到一般HFS中解決多屬性決策問題。首先，根據熵的公理化定義新的交叉熵公式，并將其作為距離測度。然后，將畢達哥拉斯HFS的灰關聯雙向投影法推廣到一般HFS上，擴大灰關聯雙向投影法在HFS上的適用范圍，提出一種基于新交叉熵的灰關聯雙向投影多屬性決策方法，解決屬性權重未知的猶豫模糊多屬性決策問題。最后，通過一個算例驗證了所提方法的合理性和有效性。

1 預備知識

1.1 猶豫模糊集

定義1[9]：設X是給定的非空集合，定義在集合X上的HFSH是X→[0 ,1] 上的一個子集的映射函數。為便于理解，Xu與Xia（2011）[2,3]給出了HFS的數學形式：

其中，hH(x)是區間[0 ，1] 上若干個不同的數值的集合，表示x∈X屬于HFSH的幾種可能的程度，它是HFS的基本元素，稱為HFN，簡記為h，可更詳細地表示為：

其中，#h代表HFNh中元素的個數。特別地，當#h=1時，HFS就退化為FS，不再對x∈X屬于HFSH的可能性存在猶豫。即HFS 是FS 的擴展，其擴展的部分就是對于x∈X屬于HFSH的可能性由一個確定的數值變為若干個數值，FS 是HFS 的一種特殊形式，稱為單值HFS。由于各個HFN中元素個數可能不一樣，且元素排序紊亂，因此為方便運算與比較，需要對HFN進行規范化處理[3]。

1.2 交叉熵

為度量不同HFS之間的關系，文獻[9]引入交叉熵的概念，并給出交叉熵的公理化定義，如定理1所示。

定理1[9]：設?α、β為HFN，則他們的交叉熵C(α，β)滿足以下兩個公理化條件：

（1）C(α，β)≥0；

（2）C(α，β)=0 ?α=β。

基于定理1 的兩個公理化條件，文獻[10]構造了新的交叉熵公式，如定義2所示。

定義2[10]：設hH1、hH2是HFSH1、H2的HFN，?xi∈X，X={x1，x2，…，xn} ，則有：

式（3）為HFNhH1和hH2的交叉熵，記為C1(hH1(xi)，hH2(xi)),其中l=#h，i=1，2，…，n,j=1，2，…，l。

2 猶豫模糊環境下基于新交叉熵的灰關聯雙向投影決策方法

2.1 新的交叉熵公式

對于定義2，通過分析發現，該交叉熵僅在自變量范圍很小時滿足熵的公理化定義，這與熵的公理化條件（2）的范圍不符。具體證明過程如下：

式（3）滿足公理化條件（1），其詳細證明過程參見文獻[10]，此處不再贅述。對于公理化條件（2），在證明（1）的過程中，有Jensen不等式成立：

設f(x)=xp時，有：

當且僅當x1=x2=x3=x4時，式（5）成立。

例1：設三個模糊集h1={0.3，0.4，0.8}、h2={0.4，0.5，0.6}、h3={0.4，0.4，0.6}，利用式（3）分別計算可得：C1(h1，h1)=0.4，C1(h2，h2)=0，C1(h3，h3) =0.0667，不難發現只有C1(h2，h2)為零，即，且時公式（3）并不滿足定理1的公理化條件（2）：C(α，β)=0 ?α=β。

由上面的證明過程可知，定義2的交叉熵不滿足熵的公理化定義，但其為距離測度時具有較高的區分度[10]。因此，在滿足定理1 公理化定義的前提下，本文提出了一種新的交叉熵公式，使其不僅具有分辨能力強的優點，而且還能避免HFN 交叉熵取零的范圍縮小的問題，具體如定義3所示。

定義3：設hH1、hH2是HFSH1、H2的HFN，?xi∈X，X={x1，x2，…，xn} ，則有：

式（6）為HFNhH1和hH2的交叉熵，記為C2(hH1(xi)，hH2(xi)),其中p＞1，l=#h，i=1，2，…，n，j=1，2，…，l。

可以證明，該交叉熵公式滿足定理1 熵的公理化定義，即定理2。

定理2：定義3 中的交叉熵C2(hH1(xi)，hH2(xi))滿足以下條件：

（1）C2(hH1(xi)，hH2(xi))≥0；

（2）C2(hH1(xi)，hH2(xi))=0 ?hH1(xi)=hH2(xi)；

（3）C2(hH1(xi)，hH2(xi))=C2(hH2(xi)，hH1(xi))。

證明：（1）為證明C2(hH1(xi)，hH2(xi))≥0，根據式（6）的結構，設定函數，限定p＞1，接下來討論f(x，y)在x、y≥0 時的取值范圍。

函數f(x，y) 分別對x，y求偏導，并令偏導等于零：

由x、y＞0 時，求得函數f(x，y)的Hessian Matrix 值大于0，得函數f(x，y)在x=y時取極小值，又因為x=y時f(x，y)=0 ，且f( 0，0 )=0 ，所以在x、y≥0 ，f(x，y)≥0，當且僅當x=y時，等號成立。

（2）由（1）的證明過程可知，要使C2(hH1(xi)，hH2(xi))=0，當且僅當，即時滿足公理化條件（2）。

（3）由定義3中的式（6）可知，此條件顯然成立。

為更好地驗證新交叉熵公式的有效性與合理性，下面用例1 的HFN 驗證定義3 中新交叉熵公式的適用范圍。

例2：對于模糊集h1={0.3，0.4，0.8}、h2={0.4，0.5，0.6}、h3={0.4，0.4，0.6}，利用式（6）分別計算可得C2(h1，h1)=0，C2(h2，h2)=0，C2(h3，h3) =0，顯然這說明定義3 滿足定理1的公理化條件（2）：C(α，β)=0 ?α=β。

由定理2的證明過程發現，新的交叉熵公式符合距離的條件，因此可以把交叉熵C2(hH1(xi)，hH2(xi))作為距離。若C2(hH1(xi)，hH2(xi))的值越大，則hH1(xi)和hH2(xi)的差別越大，反之表示更為接近。

文獻[10]將定義2的交叉熵公式與文獻[3]中的各種距離公式進行比較，發現利用定義2的交叉熵公式計算距離較近的HFN具有更高的區分度。通過計算更為接近的幾個HFN，下面進一步比較分析定義3中新交叉熵公式與定義2中公式之間的差別。

例3：設方案集X={x1，x2} ，在非空集合X上的HFSH1、H2、H3為：

利用定義2和定義3分別計算不同參數下的交叉熵距離，具體結果分別如表1和表2所示。

表2 不同參數下新的C2 交叉熵距離

由于H1與H2之間有2 個數相差0.1，H1與H3之間有3 個數相差0.1，H2與H3之間有1 個數相差0.1，因此C(H1，H3)的值應最大而C(H2，H3) 的值應最小。但從表1的結果可知，C1(H1，H2)的取值均最大，這與推測不符，而表2 中新交叉熵的計算結果與推測相符。這表明用新交叉熵表示距離來辨別兩個較為接近的HFN 效果更好，能分辨出細小的差別，靈敏性更高，因此本文對交叉熵公式的定義是合理的。

2.2 基于新交叉熵的屬性權重確定方法

在多屬性決策中，屬性權重的確定至關重要，常用方法主要有主觀賦權法和客觀賦權法，這里選取客觀賦權法。根據2.1節的分析，用新交叉熵表示不同HFN之間的偏差，應用離差最大化方法[16]來確定屬性的權重，即對所有方案中偏差越大的屬性賦予越大的權重。用猶豫模糊交叉熵距離測度來度量方案xi在屬性aj∈A下與其他所有方案的偏差：

其中，方案xi在屬性aj∈A下的屬性值aj(xi)簡記為hij，dE(hij，hkj)=C2(hij，hkj) (i，k=1，2，…，n；j=1，2，…，m)為HFNhij與hkj之間的交叉熵距離。

方案在屬性aj∈A下與其他所有方案的總偏差是：

基于離差最大化方法，權重w=(w1，w2，…，wm)的選擇應該使總偏差Dj(w)最大，由此構建優化模型如下：

為求解上述模型，構造Lagrange函數：

其中，η表示Lagrange函數中的乘子變量。

對L(w，η)分別求wj、η的偏導，并令偏導為零，得：

求解式（11）可得：

由此可知，在屬性aj下各方案間的總偏差越大，該屬性的權重就越大，反之該屬性的權重就越小。

2.3 基于新交叉熵的灰關聯雙向投影法

文獻[13]討論了畢達哥拉斯模糊集與HFS結合的畢達哥拉斯HFS 灰關聯雙向投影法。為擴大灰關聯雙向投影法在HFS上的適用范圍，在此基礎上提出一般猶豫模糊環境下基于新交叉熵的灰關聯雙向投影法。

（1）基于新交叉熵的灰關聯系數

各方案與正負理想解的灰關聯系數為：

其中，表示方案xi在屬性aj方面與正理想解x+之間的距離，表示方案xi在屬性aj方面與負理想解x-之間的距離，

建立灰關聯系數矩陣：

由此可知關聯系數矩陣中正理想解與正理想解的關聯系數、負理想解與負理想解的關聯系數如下：

為反映不同屬性的不同重要程度，對關聯系數加上權重，構成加權灰關聯系數，則加權灰關聯系數矩陣為：

計算加權關聯系數的正理想解和負理想解：

（2）基于新交叉熵的灰關聯雙向投影值

對于備選方案xi，越大，則xi離正理想點就越近；越小，則xi越接近負理想點。為全面集結灰關聯雙向投影值選出最優方案，構造相對貼近度如下：

可見，Ci越大則xi越優，Ci越小則xi越劣。

猶豫模糊灰關聯投影法實質上是一種單向投影，當兩個向量在正負理想解上投影值相同時，該方法無法區分兩個方案的好壞。而本文提出的灰關聯雙向投影法可計算在另一方向上的投影值，雙向投影結合分析會使信息更為全面，并且基于新交叉熵作為距離測度的灰關聯雙向投影法具有更高的區分度。

2.4 基于新交叉熵的灰關聯雙向投影決策步驟

對一般HFS 多屬性決策問題，設方案集X={x1，x2，…，xn}，屬性集A={a1，a2，…，am} ，基于新交叉熵為距離應用于離差最大化法求得屬性權重為屬性值aj(xi)簡記為hij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），決策者按所有方案的屬性進行評價得猶豫模糊決策矩陣D=(hij)n×m，按上述分析得灰關聯雙向投影決策方法的具體步驟如下。

步驟1：根據1.1節方法對D=(hij)n×m規范化處理，得規范化猶豫模糊決策矩陣；

步驟2：對規范化決策矩陣，基于2.2節提出的以新交叉熵為距離的離差最大化方法，按式（12）求得屬性權重w*；

步驟3：根據文獻[17]的方法，確定猶豫模糊正理想解x+和負理想解x-；

步驟4：根據式（6）分別計算方案xi與x+、x-的交叉熵距離D+、D-；

步驟5：根據式（13）和式（14）分別計算各備選方案與猶豫模糊正、負理想解的灰關聯系數r+、r-，并令λ=0.5，通過式（16）和式（17）求出正理想解與正理想解的關聯系數、負理想解與負理想解的關聯系數；

步驟6 ：根據式（18）求出加權灰關聯系數矩陣R+、R-，由式（19）和式（20）求出加權灰關聯系數的正、負理想解；

步驟8 ：根據式（23）求出各備選方案的相對貼近度Ci，并據此對各方案進行排序。

3 實例分析

3.1 算例應用

為驗證本文提出的上述決策方法的可行性與有效性，下面通過文獻[17]中的能源問題進行實證分析。假設政府部門要從備選的5個方案中選出最為合適的方案，一組專家（決策組織）被邀請來對這5個方案進行評價，假設該決策組織用HFN 表示對各方案的評價，猶豫模糊決策矩陣具體見文獻[17]。利用2.4 節所提灰關聯雙向投影決策方法的步驟1至步驟8選擇最優方案。

步驟1：對猶豫模糊矩陣進行規范化處理，為使風險最小，擴充原則采用風險規避型，由于所有的屬性均為效益型屬性，故可得規范化的猶豫模糊矩陣。新交叉熵利用離差最大化方法(p=2) ，根據式（12）求得屬性權重為w*=(0.2075，0.2286，0.4090，0.1549) ；根據式（21）和式（22）求出灰關聯雙向投影值，如表3所示。

表3 灰關聯雙向投影值

由此，得各備選方案的相對貼近度大小順序為C5＞C3＞C2＞C4＞C1，故最優方案是x5。

3.2 算例結果的對比分析

為進一步驗證本文方法的有效性與合理性，下面將本文結果與灰關聯投影法結果進行對比分析，兩種方法所得相對貼近度，如表4所示。

表4 相對貼近度

由表4 可知，這兩種方法所得最優方案都是x5，但相對貼近度排序結果不完全一致，其中，通過灰關聯投影法所得排序結果為C5＞C3＞C2＞C1＞C4，其差別主要在于方案x1和x4的相對貼近度排序不同。為分析其原因，列出灰關聯投影法的投影值，如表5所示。

表5 灰關聯投影值

根據表3 和表5 可知，導致表4 相對貼近度排序不同的原因是方案x1、x4單向正投影值排序與雙向正投影值排序相反。由文獻[18]可知，雙向投影較單向投影具更高可信度，故相較于灰關聯投影法，灰關聯雙向投影法更為可信。而HFS 中的灰關聯投影法只考慮了單方向上的投影，但本文所提HFS中的灰關聯雙向投影法卻能夠全面分析屬性間的關系，反映整個屬性空間的影響，相較于單向投影法考慮得更為全面，避免了單方面的偏差，故所得決策結果更為合理有效。

3.3 靈敏度分析

為討論本文所提方法的靈敏度，分別計算出在不同參數下基于不同交叉熵為距離時的灰關聯雙向投影法結果，如表6至表8所示。

表6 基于新交叉熵的灰關聯雙向投影法結果

由此可見，表7 中各方案的相對貼近度值區分度較小，而表6和表8中相應區分度較大，即本文所提基于新交叉熵的決策方法具有較好的區分度。同時，比較表6至表8 不難發現，參數p的取值均會影響方案排序，當p=2，3，6，10 時，表6中最優方案為x5；當p=20 時，最優方案為x1，但表8中最優方案始終都是x5。然而，隨著參數p的增大，方案x1的相對貼近度都呈逐漸增大趨勢，因此表6方法對x1的變化更靈敏。這表明相較于上述兩種方法，本文所提基于新交叉熵的決策方法具有更高靈敏度。

表7 基于定義2交叉熵的灰關聯雙向投影法結果

表8 基于文獻[9]交叉熵的灰關聯雙向投影法結果

4 結束語

本文對屬性值為猶豫模糊形式的多屬性決策問題進行研究，提出了新的交叉熵公式，并以其為距離測度，應用離差最大化方法求得屬性權重，并將灰關聯雙向投影法推廣到一般猶豫模糊決策中。對比已有的交叉熵公式，新的交叉熵解決了數值差異較小帶來的問題，提高了兩個相近的HFS之間的區分度；此外，基于新交叉熵的灰關聯雙向投影法通過理論證明和實證分析表明，該方法具有較高的區分度和靈敏度，且擴大了灰關聯雙向投影法在HFS上的適用范圍，提高了決策的可信度。