提高運(yùn)算素養(yǎng) 培養(yǎng)關(guān)鍵能力

黃志陽

摘要：教育部于2022年4月發(fā)布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，其中刪除了“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的星號（*），即對韋達(dá)定理的要求由“選學(xué)”變成了“了解”.韋達(dá)定理及其應(yīng)用對提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)起著重要作用，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn);韋達(dá)定理;關(guān)鍵能力

1 問題提出

2019年，中共中央國務(wù)院頒布的《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》指出：穩(wěn)步推進(jìn)初中學(xué)業(yè)水平考試省級統(tǒng)一命題，堅(jiān)持以課程標(biāo)準(zhǔn)為命題依據(jù)，不得制定考試大綱，不斷提高命題水平.2022年3月，《教育部辦公廳關(guān)于做好2022年中考命題工作的通知》要求：各地要認(rèn)真落實(shí)依據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)命題的規(guī)定要求，不得超標(biāo)命題和隨意擴(kuò)大、壓減考試內(nèi)容范圍，確保依標(biāo)命題、教考銜接.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）中刪除了“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的星號（*），對韋達(dá)定理的要求由“選學(xué)”變成了“了解”：知道一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能通過系數(shù)表示方程的根，能用方程的根表示系數(shù)［1］145.《新課標(biāo)》指出，核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)為抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識這九個方面的關(guān)鍵能力.在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)的思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識或推理能力.運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力［1］7-8.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是最核心、最關(guān)鍵的教學(xué)內(nèi)容之一，因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是最基本、最重要的教學(xué)任務(wù)之一［2］．本文中通過對2022年全國部分?jǐn)?shù)學(xué)中考題的梳理，立足韋達(dá)定理對提高學(xué)生運(yùn)算能力的常見題型進(jìn)行剖析，達(dá)成學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)目標(biāo).

2 中考韋達(dá)定理的應(yīng)用試題研究

韋達(dá)定理及其運(yùn)用對提高學(xué)生的運(yùn)算能力有著重要作用，中考中主要以填空題、選擇題或簡單解答題的形式出現(xiàn)，要求學(xué)生根據(jù)韋達(dá)定理和運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，難度適中，吻合課標(biāo)的要求.

2.1 直接應(yīng)用

例1 （2022湖北·黃崗中考）若一元二次方程x2－4x＋3＝0的兩個根是x1，x2，則x1x2的值是________．

評析：直接考查韋達(dá)定理的應(yīng)用.答案為3.

例2 （2022湖南·婁底中考）若實(shí)數(shù)x1，x2是一元二次方程x2+x－1=0的兩根，則x1x2=________．

評析：直接考查韋達(dá)定理的應(yīng)用.答案為－1.

2.2 結(jié)合乘法公式的應(yīng)用

例3 （2022黑龍江·綏化中考）若實(shí)數(shù)x1與x2是一元二次方程12x2+3x+2=0的兩根，則（x1－x2）2的值為________.

評析：考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用.因?yàn)閤1+x2=－6，x1x2=4，所以（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=20.答案為20.

例4 （2022四川·眉山中考）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2+2x－3=0的兩個實(shí)數(shù)根，則x21+x22的值為________.

評析：考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用.因?yàn)閤1+x2=－2，x1x2=－3，所以x21+x22=（x1+x2）2－2x1x2=10.答案為10.

2.3 隱藏韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)的應(yīng)用

有些題目咋一看似乎跟韋過定理無關(guān)，細(xì)看就可見端倪，隱藏了韋達(dá)定理的結(jié)構(gòu).

例5 （2022山東·濱州中考）若m+n=10，mn=5，則m2+n2的值為________.

評析：考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用.m2+n2=（m+n）2－2mn=90.答案為90.

例6 （2022湖北·鄂州中考）若a，b分別滿足a2－4a+3=0，b2－4b+3=0，且a≠b，則1a+1b的值為________.

評析：考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用.設(shè)a，b是方程x2－4x+3=0的兩根，則a+b=4，ab=3，1a+1b=a+bab=43.答案為43.

2.4 含參數(shù)方程的應(yīng)用

2.4.1 已知方程一根，求參數(shù)的值

例7 （2022四川·樂山中考）關(guān)于x的一元二次方程3x2－2x+m=0有兩根，其中一根為x=1，則這兩根之積為________.

評析：既考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用，又考查方程根的意義.

解法一：由3×12－2×1+m=0，得m=－1，則原方程為3x2－2x－1=0，根據(jù)韋達(dá)定理，可知兩根之積為－13.

解法二：設(shè)另一根為x′，由韋達(dá)定理，得1+x′=23，則x′=－13，所以兩根之積為1×－13=－13.

例8 （2022貴州·黔東南州中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2x－a=0有兩根分別記為x1，x2，若x1=－1，則a－x21－x22的值為（? ）.

A.7? ??B.－7 ???C.6 ???D.－6

評析：既考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用，又考查方程根的意義.

由（－1）2－2×（－1）－a=0，得a=3，則原方程為x2－2x-3=0.由韋達(dá)定理，得x1+x2=2，x1x2=-3，則x21+x22=（x1+x2）2－2x1x2=10，a－x21－x22=a－（x21+x22）=3－10=－7.故答案為選項(xiàng)B.

2.4.2 根據(jù)方程兩根的關(guān)系式，求參數(shù)的值

例9 （2022湖北·隨州中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不等實(shí)數(shù)根x1，x2.

（1）求k的取值范圍；

（2）若x1x2=5，求k的值.

評析：既考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用，又考查方程根的意義.

（1）由（2k+1）2－4（k2+1）＞0，得k＞34.

（2）根據(jù)韋達(dá)定理，由x1x2=k2+1=5，得k=±2.又k＞34，所以k=2.

例10 （2022湖北·仙桃中考）若關(guān)于x的一元二次方程x2－2mx+m2－4m－1=0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）－2x1x2=17，則m=（? ）.

A.2或6

B.2或8

C.2

D.6

評析：既考查韋達(dá)定理，又考查韋達(dá)定理存在的前提是方程存在實(shí)根.

由韋達(dá)定理，得x1+x2=2m，x1x2=m2－4m－1.由（x1+2）（x2+2）－2x1x2=2（x1+x2）－x1x2+4=17，得2×2m－（m2－4m－1）+4=17，解得m=2或6.至此部分學(xué)生據(jù)此選擇A，沒有考慮韋達(dá)定理成立的前提是方程存在實(shí)根，選對答案純屬歪打正著.因此，上述解答過程還應(yīng)加以完善：由（2m）2－4（m2－4m－1）＞0，得m＞－14，因?yàn)?＞－14，6＞－14，所以選擇選項(xiàng)A.

3 韋達(dá)定理的教學(xué)建議

運(yùn)算能力不能脫離具體的數(shù)學(xué)知識而孤立存在，也不能離開其他核心素養(yǎng)而獨(dú)立發(fā)展［3］.依托韋達(dá)定理抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，能促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展.

3.1 注重學(xué)習(xí)過程

應(yīng)該從系統(tǒng)的角度學(xué)習(xí)知識，置知識于系統(tǒng)之中，著眼于知識的聯(lián)系與規(guī)律，從而深入本質(zhì)，因?yàn)槁?lián)系和規(guī)律就是事物本質(zhì)的體現(xiàn)［4］.在教學(xué)中，要把重點(diǎn)放在韋達(dá)定理的探究過程，指導(dǎo)學(xué)生思考韋達(dá)定理的證明過程，不能輕過程、重結(jié)論.開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動，目的在于在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的思考能力、學(xué)習(xí)能力、知情意行的結(jié)合能力、結(jié)果與過程的兼顧能力.真實(shí)經(jīng)歷體驗(yàn)過程，讓認(rèn)識從感性上升到理性，積累活動經(jīng)驗(yàn)，這對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)有著積極的意義.

3.2 加強(qiáng)變式訓(xùn)練

數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)充分利用學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)運(yùn)算材料的設(shè)計應(yīng)注重變式；應(yīng)注重對數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則的理解；應(yīng)適當(dāng)揭示數(shù)學(xué)運(yùn)算背后的算理；應(yīng)注重算法多樣化與必要優(yōu)化.通過對數(shù)學(xué)運(yùn)算材料的適當(dāng)變化，突出與強(qiáng)調(diào)其中的不變因素與關(guān)鍵特征，促進(jìn)學(xué)生對相應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的深入理解、牢固掌握與靈活運(yùn)用［2］．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是解決問題的基本手段.因此要求學(xué)生能夠明晰運(yùn)算的對象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解所運(yùn)算的問題，選擇合理簡潔的運(yùn)算策略；能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展.運(yùn)算能力的提升有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度［1］.

3.3 關(guān)注思想滲透

學(xué)習(xí)一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，不僅要學(xué)習(xí)相應(yīng)的運(yùn)算技能，更重要的是要逐步理解與掌握其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識［2］．從思想上看，韋達(dá)定理的學(xué)習(xí)過程，始終貫穿著整體思想、化歸思想和模型思想.把兩根和與積看成一個整體，計算出一個簡潔的結(jié)果，這種整體思想給化簡和計算帶來了簡便；把不同類型的問題，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩根和與積的問題；構(gòu)造兩根和與積的形式，根據(jù)模型解決問題，豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的手段.數(shù)學(xué)思想的形成不可能一蹴而就，它是一個動態(tài)、螺旋式上升的過程.數(shù)學(xué)定理揭示了數(shù)學(xué)規(guī)律的不變性，通過對定理的學(xué)習(xí)，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展.

4 結(jié)語

將“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”調(diào)整為必學(xué)內(nèi)容，要讓學(xué)生知道利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系可以解決一些簡單的問題.用配方法推導(dǎo)求根公式時，要把根與系數(shù)關(guān)系的來龍去脈講清楚，而不是強(qiáng)調(diào)復(fù)雜的計算練習(xí)［5］.

數(shù)學(xué)思想方法、邏輯知識在對學(xué)生的關(guān)鍵能力，特別是高水平關(guān)鍵能力的形成和發(fā)展起著催化和固化作用［6］.韋達(dá)定理的教學(xué)，不宜人為拔高難度，要緊扣通過韋達(dá)定理提升學(xué)生運(yùn)算能力這個目標(biāo)，讓學(xué)生通過韋達(dá)定理的來源與應(yīng)用，學(xué)會利用基本知識、基本技能進(jìn)行解題，領(lǐng)悟化歸、轉(zhuǎn)化思想和模型思想，積累更豐富的基本活動經(jīng)驗(yàn)，提升關(guān)鍵能力.

參考文獻(xiàn)：

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［6］章建躍.通過計數(shù)原理感悟運(yùn)算真諦 利用排列組合提升思維品質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通報，2021（11）：6-13.