巧用反例教學(xué)，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)

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摘要：教學(xué)中，教師通常慣性使用正序的方法幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，這種方法容易讓學(xué)生陷入被動(dòng)式學(xué)習(xí)狀態(tài).對(duì)于一些問題以逆向思維作為引導(dǎo)，用反例來判斷命題的真假，反而能達(dá)到良好的教學(xué)效果.本文中從深化學(xué)生對(duì)概念的理解、突破學(xué)生的思維定式、減少計(jì)算錯(cuò)誤的發(fā)生、提升學(xué)生的思維品質(zhì)等方面，對(duì)巧用反例教學(xué)、優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)展開闡釋.

關(guān)鍵詞：反例教學(xué)；概念；計(jì)算；思維

縱觀世界數(shù)學(xué)的發(fā)展史，發(fā)現(xiàn)反例對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著顯著的推動(dòng)作用，如非歐幾何的產(chǎn)生與無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)等都與反例有著直接的聯(lián)系.事實(shí)告訴我們，反駁與證明是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的原動(dòng)力［1］.因此，我們在教學(xué)中，應(yīng)將目光鎖定反例教學(xué)，充分利用反例激發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.

近年來，筆者在教學(xué)實(shí)踐中，運(yùn)用反例教學(xué)法獲得了一定的教學(xué)效益，特將該教學(xué)技巧與作用進(jìn)行整理與分析，提出幾點(diǎn)拙淺的看法.

1 深化學(xué)生對(duì)概念的理解

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).吃不透概念，就如同一座高樓大廈沒有打好地基一樣，缺乏穩(wěn)固性.只從正面去教授概念，學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)概念的特殊之處與存在的陷阱.遇到考查概念內(nèi)涵的練習(xí)，便會(huì)被變化多端的描述與情境變化干擾，導(dǎo)致各種錯(cuò)誤的產(chǎn)生.若采用反例教學(xué)的方式，則能深化學(xué)生對(duì)概念的理解程度，不論情境發(fā)生怎樣的變化，都能一眼找出概念的內(nèi)涵.

案例1 “負(fù)數(shù)”的概念教學(xué)

負(fù)數(shù)是剛步入初中階段學(xué)習(xí)的一個(gè)概念，教材運(yùn)用了半列舉的模式闡釋負(fù)數(shù)的意義，如11.8%，9，9.5這些大于0的數(shù)為正數(shù)，－7.8%，－3，－10.5這些在正數(shù)前添加了“-”號(hào)的數(shù)為負(fù)數(shù).從字面上來看，這個(gè)解釋沒有問題，但學(xué)生理解的時(shí)候容易產(chǎn)生偏差，有些學(xué)生會(huì)簡單地理解為數(shù)字前只要有“-”號(hào)，就是負(fù)數(shù).

為了深化學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)概念的理解，筆者嘗試用反例教學(xué)法，提出“－（－2）屬于正數(shù)的范疇還是負(fù)數(shù)的范疇“的問題.學(xué)生看到此問，立馬認(rèn)識(shí)到負(fù)數(shù)概念中的內(nèi)涵（正數(shù)前面有“-”號(hào)）.因此，要從負(fù)數(shù)的內(nèi)涵上理解其概念，才不會(huì)出現(xiàn)偏差.

反例的運(yùn)用，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到看似理所當(dāng)然的概念，并非那么簡單.對(duì)于概念的理解，需做到“咬文嚼字”的程度，要仔細(xì)琢磨概念中每一個(gè)字詞的意義.有時(shí)，看似隨意的描述，可能含有很多豐富的內(nèi)涵.反例在概念教學(xué)中的應(yīng)用，能讓學(xué)生逐漸形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度與思維方式，在對(duì)概念的理解與應(yīng)用中樹立反例意識(shí)，從而完善對(duì)概念的理解.

2 突破學(xué)生的思維定式

隨著教學(xué)手段的進(jìn)步，試題也越發(fā)變得靈活，對(duì)學(xué)生的解題能力也提出了更高的要求.但學(xué)生在學(xué)習(xí)中常會(huì)受之前認(rèn)知水平與解題經(jīng)驗(yàn)的影響，形成思維定式，解決一些繁雜的問題時(shí)會(huì)產(chǎn)生困擾.實(shí)踐證明，反例教學(xué)的模式能有效地打破學(xué)生的思維定式，啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生新的解題思路與方法，提高解題能力.

案例2 “二次函數(shù)增減性”的教學(xué)

問題 說說函數(shù)y=8x2的增減性.

不少學(xué)生受之前所學(xué)一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的影響，心理上產(chǎn)生了思維定勢，覺得a=8＞0，所以函數(shù)y=8x2呈遞增性.為了突破思維定式對(duì)學(xué)生認(rèn)知的影響，筆者利用反例教學(xué)的方式，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，提出“當(dāng)x1=3，x2=－6時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1，y2分別是多少”的問題.

學(xué)生通過分析發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)與一次函數(shù)有著顯著的差異，它的增減性不能以未知數(shù)的系數(shù)作為參考，而應(yīng)以它的圖象在坐標(biāo)系中的對(duì)稱軸作為討論界限.

用反例法突破學(xué)生的思維定式，并非絕對(duì)的摒棄常規(guī)的正序思維，而是針對(duì)一些特殊的問題采用反例法教學(xué)，這樣教學(xué)效果更為明顯.其實(shí)，日常教學(xué)中仍然是常規(guī)思維訓(xùn)練運(yùn)用得更多，在此基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用反例法教學(xué)，能讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的視角或?qū)用婵创龁栴}，從而開拓視野，拓寬思維，為解題思路的拓展提供幫助.

3 減少計(jì)算錯(cuò)誤的發(fā)生

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本技能，它決定了學(xué)生在數(shù)學(xué)道路上能走多遠(yuǎn).不論多巧妙的解題思路，若沒有精準(zhǔn)的計(jì)算作為保障，只能無奈地以失敗告終.因此，沒有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，就無法談及解題能力的發(fā)展.而初中數(shù)學(xué)中的計(jì)算與小學(xué)相比，變得繁雜了許多，學(xué)生在計(jì)算上丟分的現(xiàn)象屢見不鮮.

怎樣利用反例教學(xué)法提高學(xué)生的運(yùn)算能力，避免因計(jì)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致失分的現(xiàn)象，是筆者近些年一直在探索的問題之一.實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)激發(fā)學(xué)生的潛能，提升他們的計(jì)算能力，反例教學(xué)法具有無可替代的重要作用.

案例3 “完全平方公式”的教學(xué)

不少學(xué)生對(duì)于字母化的公式容易產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的偏差，而完全平方公式又是初中階段非常重要的一個(gè)乘法公式.因此，教師可用實(shí)際數(shù)字代替字母讓學(xué)生進(jìn)行反例訓(xùn)練，如區(qū)別（8+5）2和82+52的結(jié)果是否一致等.學(xué)生通過具體數(shù)字的計(jì)算，明確用字母所表達(dá)的完全平方差公式的意義，避免大腦形成錯(cuò)誤的記憶而導(dǎo)致運(yùn)算的失敗.

有些教師受傳統(tǒng)思想的干擾，習(xí)慣性地使用題海戰(zhàn)術(shù)來訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力，認(rèn)為熟能生巧是提高運(yùn)算能力的基本手段.眾所周知，大量刷題只能形成一種慣性的解題思維，離深刻理解算理與靈活運(yùn)用算法還有很大的差距.將反例教學(xué)靈活地運(yùn)用到計(jì)算訓(xùn)練中，可以達(dá)到減負(fù)增效的效果，也能讓學(xué)生快速找出錯(cuò)誤發(fā)生的原因.因此，重點(diǎn)突出、少而精的反例計(jì)算訓(xùn)練，是提高運(yùn)算能力的催化劑.

4 提升學(xué)生的思維品質(zhì)

良好的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的終身可持續(xù)性發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響.合理的思維練習(xí)對(duì)思維習(xí)慣的培養(yǎng)具有舉足輕重的作用，而優(yōu)質(zhì)思維品質(zhì)的形成，需有良好的思維習(xí)慣［2］.解題中，不少學(xué)生出現(xiàn)一聽就會(huì)、一做就錯(cuò)的現(xiàn)象.深究其原因并非是偶然失誤所致，而是這部分學(xué)生的思維品質(zhì)尚未達(dá)到該階段應(yīng)有的水平.

案例4 “三角形的三邊關(guān)系”的教學(xué)

本章節(jié)對(duì)三角形的三邊關(guān)系提出了一個(gè)規(guī)律：三角形的任意兩邊之和必然大于第三條邊，而兩邊只差必然小于第三條邊.不少學(xué)生在運(yùn)用該規(guī)律時(shí)，往往只關(guān)注到其中一個(gè)條件，認(rèn)為只要滿足這兩個(gè)條件中的一個(gè)，就能構(gòu)成三角形.筆者發(fā)現(xiàn)，用正序教學(xué)法講解后，學(xué)生依然會(huì)出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤.為此，筆者以通過例教學(xué)法，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考與分析：

問題 在草稿紙上以2.5 cm，1.5 cm，1 cm為邊畫三角形.

學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的方式畫圖，最終每組呈現(xiàn)的結(jié)果都是：無法畫出滿足該條件的三角形.為此，筆者要求各組討論：為什么無法以這三個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)三角形？

學(xué)生經(jīng)過討論與分析后提出：雖然1.5+2.5＞1，1+2.5＞1.5，但是1+1.5=2.5，這與教材中所提到的“任意兩條邊相加都大于第三條邊”的條件不相符.可見，1+1.5=2.5這個(gè)條件導(dǎo)致了

無法畫出三角形.

學(xué)生在這個(gè)反例教學(xué)中，更進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)到此規(guī)律的重要性與實(shí)施過程中的意義.通過這個(gè)案例，學(xué)生也深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需講究周密性與嚴(yán)謹(jǐn)性，不能因?yàn)榇蟛糠謼l件能滿足，就認(rèn)為是可行的，而應(yīng)掌握數(shù)學(xué)概念、定理或規(guī)律的內(nèi)涵，深刻認(rèn)識(shí)每一個(gè)字詞句所代表的意義，才能做到靈活應(yīng)用.

思維品質(zhì)的培養(yǎng)需要經(jīng)歷一個(gè)漫長的過程，而非一蹴而就的事.因此，教師應(yīng)在教學(xué)中有意識(shí)、有計(jì)劃地滲透數(shù)學(xué)思想，在潤物細(xì)無聲中長期訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)，讓每一個(gè)學(xué)生都能在學(xué)習(xí)中獲得良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為其終身可持續(xù)性發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)［3］.

總之，反例教學(xué)是響應(yīng)新課標(biāo)“輕負(fù)高效”教育理念的新視角與思路.這種教學(xué)方式能讓學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，突破思維定式帶來的弊端.于教師而言，反例法為教學(xué)開辟了新蹊徑，啟發(fā)了新的教學(xué)思路，讓他們能從一個(gè)全新的角度去認(rèn)識(shí)與看待數(shù)學(xué)事物.因此，反例教學(xué)不僅能促進(jìn)師生的共同成長，還能有效地提升數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］于浩.中學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新教法［M］.北京：學(xué)苑出版社，2001.

［2］施良方，崔允漷.教學(xué)理論：課堂教學(xué)的原理、策略與研究［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，1999.

［3］陰國恩，梁福成，白學(xué)軍.普通心理學(xué)［M］.天津：南開大學(xué)出版社，2003：23.

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