滲透建模思想，強化數學能力

雷業紅 王小琪

“數學發展的根本原動力，它的最初根源，來自客觀實際的需要.”數學知識與生活緊密相關，是生活的抽象，并融入生產、生活，為人們的生產、生活提供幫助.數學建模活動的開展，一方面能夠讓學生的思想更具建模意識，另一方面帶給學生解決問題的思路，通過數學建模思想的應用為生活服務.尤其在新課改理念下，滲透建模思想，能讓數學教學的開展更具實效，讓數學教學成為學生能力發展的動力［1］.

1 初中數學建模素養發展的重要性

1.1 培養數學思維

數學教學的開展并非單純的知識講解，而是數學思維的培養，讓學生因為數學知識的學習而擁有信息分析、獨立思考、數學應用等多種能力，能夠真正形成數學思維體系.數學建模素養的發展能夠讓學生逐漸具備數學思維，能夠借助數學知識的應用實現能力的更好發展，推動數學知識與生活相結合.

1.2 解決生活問題

數學知識從生活中而來，最終還是要回歸到生活之中.只有讓數學知識在生活中發揮作用，才能讓數學知識的價值得以體現.數學建模素養的發展，能夠讓學生尋找到解決生活問題的突破口，帶給學生思維上的啟發，不僅能夠讓學生的問題解決能力得以發展，而且能夠實現數學知識的更好應用，帶給學生問題解決的多視角拓展［2］.

1.3 激發學習興趣

從某一個方面來說，數學知識的學習較為枯燥，很多疑難問題往往會阻礙學生對知識的進一步探究.數學建模素養的發展則為學生數學學習興趣的培養提供助力.很多復雜問題能夠通過建模方式變得簡便，很多疑難問題能夠通過建模方式迎刃而解.這樣能

增加學習的趣味性，降低數學學習的難度，幫助學生消除學習數學知識的畏懼之心，從而建立學習數學知識信心.

2 初中數學建模素養發展的路徑

2.1 建立幾何模型

初中階段學習內容眾多，如相似三角形、勾股定理、坐標等，這些知識的學習都離不開幾何模型的構建.引導學生構建幾何模型，能夠讓學生的數學建模素養得以提升，形成數形結合思想.

例1 一艘海上巡邏艦在海上A處航行，突然接到海上B處指揮中心電話，告知海上有一艘漁船遇險，需要緊急救援.現在得知漁船在指揮中心北偏西60°方向的C處，與巡邏艦相對比，在巡邏艦北偏西30°方向，海上巡邏艦經過定位，發現自己在指揮中心北偏西75°方向，測算之后海上巡邏艦與指揮中心之間的距離為12 n mile，你可以算出海上巡邏艦與待救援漁船之間的距離嗎？（結果精確到0.1 n mile.）

此題為航海問題，本質是考查斜三角形的知識.結合題目構建斜三角形，如圖1所示.

結合構建的幾何模型，可以得知本題需要計算A與C之間的距離，則

過點B作BD⊥CA，交CA延長線于點D，如圖2.

由題意知，∠ACB=60°-30°=30°，∠ABC=75°-60°=15°，所以

∠DAB=∠DBA=45°.

在Rt△ABD中，AB=12，∠DAB=45°，所以

BD=AD=ABcos 45°=62.

在Rt△CBD中，CD=BDtan 30°=66.

所以AC=66－62≈6.2（n mile）

故漁船與巡邏船之間相距約6.2 n mile.

通過這樣一道典型例題，引導學生形成幾何模型構建思維，讓學生了解生活中的很多問題都可以借助幾何模型解決，同時體會數形結合思想，感受數與形之間的關系.

2.2 建立方程模型

一元一次方程、一元二次方程、不等式是初中階段的必學內容，這些內容的學習均可以轉化為方程模型.通過方程模型的構建，引導學生逐漸形成方程模型構建思維，進而利用方程模型解決相應問題.

例2 A超市和B超市準備從市場購買石榴進行銷售.已知A超市與B超市購買石榴的預算均為3 000元，且采用不同的方式售賣石榴.A超市依照石榴的大小進行銷售，其中大石榴共計400 kg，大石榴按進價的2倍銷售，小石榴的售價則高于進價的10%；B超市觀察A超市的銷售方案之后，所有石榴均按A超市石榴的平均售價銷售.兩超市石榴售罄之后，A超市盈利2 100元（忽略其他投入成本），那么：（1）石榴進價是多少？（2）哪個超市銷售方案盈利更多？

結合題目構建方程模型：

設石榴進價為x元/kg，則方程為

400x+10%x3 000x－400=2 100.

解得x=5.

經檢驗，得石榴進價為5元 /kg.

再結合題目信息，可得B超市盈利為

600×10+5.52－5=1 650（元）.

因為A超市盈利2 100元，所以A超市銷售方案盈利更多.

方程模型在實際問題的解決中并不少見，但需要注意用方程模型解決實際問題時驗證過程不可或缺.

2.3 建立函數模型

初中階段學生還將學習一次函數、二次函數、反比例函數等知識，針對最值問題則可以通過函數模型的構建予以解決.函數模型的建立，能夠深化學生對函數知識的認知，理解函數的意義.在解決問題的過程中滲透函數思想，對學生數學知識體系的構建、建模理念的深化都具有重要影響.

例3 如今中學生課余生活豐富，很多學生喜歡騎行，山地車也深受學生歡迎.某車行銷售的A品牌山地車，在去年銷售總額達到了5萬元，為推動A品牌市場占有率，今年A品牌山地車相比較去年每輛售價降價400元，但是銷量并沒有提升，而是與去年持平，使得銷售總額降低了兩成.該車行計劃新進一批B品牌山地車，兩種品牌車輛共計60輛.為控制成本，B品牌山地車進貨數量不會超過A品牌山地車數量的2倍，請你結合表1設計進貨方案，使這批車盈利最大.

結合題目信息，假設今年A品牌山地車每輛售價為x元，則去年每輛售價為（x+400）元，根據題意可得

50 000x+400=50 000（1－20%）x，

解得x=1 600.

設今年新進A品牌山地車為a輛，則B品牌山地車為（60-a）輛，這批車盈利為y元，則有

y=（1 600－1 100）a+（2 000－1 400）（60－a），

y=－100a+36 000.

又60-a≤2a，解得

a≥20.

依照一次函數的增減性，當a=20時，ymax=34 000（元）.

所以A品牌山地車進貨20輛、B品牌山地車進貨40輛時，這批車盈利最大.

利用函數的增減性，能夠很好地解決生活中所遇到的利潤、成本等最值問題.將很多生活中的實際問題轉化為函數模型予以解決，能夠讓學生的函數模型思想逐漸形成并建立.

3 結束語

數學建模教學的開展，知識的立體化是知識滲透之路徑，是學生難點突破之方法，是生活問題解決之策略.教師需要更加深度理解數學模型構建理念，了解學生實際情況，從幾何模型、方程模型、函數模型等視角入手，教授學生建模方法，推動學生主動探索，引導學生尋找適合自己的數學建模方式.相信隨著數學建模思想的滲透，多種教學方法的應用，初中數學教學質量也將不斷攀升，學生的數學能力也將不斷得到提高.

參考文獻：

［1］牛新榮.初中數學“綜合與實踐”活動研究——例談建構主義學習環境下的初中數學建模活動［J］.中學數學，2022（18）：92-93.

［2］姚群.基于數學建模培養初中生核心素養策略探究——以“制作一個五角星”為例［J］.中學數學，2022（18）：94-95.

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