聯系中重構 打造深度課堂

鄭曉華 陳建國

摘要：復習課需要對學生所學知識進行研究、比較，尋找相互之間的聯系，重點研究整體與局部及整體中的局部之間的關系，在整體觀念下經歷對知識再構造的過程.本文中通過軸對稱的視角來復習特殊的平行四邊形，對矩形、菱形相關知識進行解構、重構，步入深度教學課堂.

關鍵詞：教學重構；課堂深度；教學思考

1 基本情況分析

新課教學主要達成的是課時目標，即使是采用整體的方式呈現，也只是結構性的扼要陳述的一些數學對象，當它被單獨分析時，會喪失一部分整體的性質.這恰恰體現了復習課的重要地位.復習課顯然不是“可有可無”“舊事重提”的課，而是需要教師站在知識的更高位，對學生所學知識進行研究、比較，尋找相互之間的聯系和區別，在單元整體觀下進行再構造，將原本分散、彼此分割的知識聯成一個統一的整體，使學生能在復習中獲得系統性的體驗.

2 教學過程設計

2.1 知識回溯，喚醒學生的學習起點

課前檢測：

（1）矩形具有而一般的平行四邊形不具有的特征是（? ）.

A．有一個角是直角

B．對邊相等

C．對角相等

D．對角線互相平分

（2）菱形具有而一般的平行四邊形不具有的特征是（? ）.

A．對角線相等

B．鄰邊相等

C．對角相等

D．對角線互相平分

（3）菱形的兩條對角線長分別為6 cm和8 cm，它的邊長是（? ）cm.

A．10

B．8

C．5

D．6

設計意圖：通過前測，喚醒學生對本節課復習的主題內容相關知識點的記憶，便于教師了解學生對特殊的平行四邊形知識的掌握情況.

2.2 動手操作，凸顯學生的學習體驗

已知線段AB的垂直平分線MN，P為MN上一點（在線段AB外），連結AP和BP.

下面是圓圓和芳芳分別在圖中作出四邊形的步驟.

圓圓：第1步，以過點P且平行于AB的直線為對稱軸，將△APB進行翻折，得到△DPC，如圖1.

第2步，連接BC，AD，得到四邊形ABCD.

芳芳：如圖2，將△APB以AB為對稱軸翻折，得到△ABP′，得到四邊形AP′BP.

問題1 請根據圓圓和芳芳的步驟作出圖形.

追問1：作出的四邊形是哪一類特殊的四邊形？請說明理由.

追問2：能否借助軸對稱性來梳理矩形、菱形特有的性質？

師生活動：學生根據要求分別作圖，并對所作的圖形進行猜想，利用定義和判定進行合理判斷，嘗試用軸對稱性梳理矩形、菱形特有的性質.

設計意圖：幫助學生在動手操作中回顧矩形、菱形的定義和判定，體會矩形、菱形（整體）與等腰三角形（局部）具有一致的軸對稱性.

2.3 感受優勢，激活學生的學習視角

（1）如圖3，已知矩形ABCD，BE=CE，則下列結論中正確的是________.

①AE=DE；

②∠BAE=∠CDE；

③BA=BE；

④△ABE≌△DCE.

（2）如圖4，菱形ABCD中，E為對角線BD上與B，D不重合的一點，連結EA，EC，你能得到哪些結論？

問題2 你是通過什么方法得到這些結論的？

追問1：能否利用它們的軸對稱性來解決？

追問2：矩形中點A關于對稱軸對稱的點是誰？點E呢？AE呢？∠BAE呢？

追問3：若DE=BE，還能得到什么結論？

追問4：根據上述問題1～2，借助軸對稱性，能得到哪些等量關系？對后續解決其他問題有什么啟示？

生1：通過軸對稱，可得相等的線段、相等的角、全等的三角形.凡是對稱的圖形，都是全等圖形.

生2：后續在解決軸對稱圖形的問題時，可以借助軸對稱性，快速判斷它們的等量關系.

設計意圖：通過問題1～2，幫助學生鞏固特殊平行四邊形的軸對稱性，體會其在解決問題中的優越性，激活學生的思維，從軸對稱的視角與方法來看待問題，為后續解決問題打下基礎.

2.4 驅動轉化，提升學生的學習能力

例題 如圖5所示，菱形ABCD的面積為20，AB＝5，AE⊥CD于點E，連接BD，交AE于點F.連接CF，記△AFD的面積為S1，△BFC的面積為S2，則S1∶S2=________.

問題3 由已知條件，你能得到哪些結論？

追問1：如何計算兩個三角形的面積比？

追問2：如何求同一直線上的兩條線段的比？

思路1：通過對稱，聚焦相似三角形，解決問題.

部分學生依據菱形的軸對稱性，將△BFC的面積轉化為△BFA的面積，進而得到

S1∶S△BFA=DF∶BF.利用△BFA∽△DFE，得到DF∶BF=DE∶AB，從而求出S1∶S2.

思路2：通過對稱，聚焦兩三角形的面積.

部分學生依據菱形的軸對稱性，將△BFC的面積轉化為△BFA的面積，以△BFA和△AFD的公共邊作為底，高分別為AB和DE，從可求出S1∶S2.

思路3：通過對稱，聚焦直角三角形，解決問題.

部分學生利用菱形的軸對稱性，將△AFD的面積轉化為△CFD的面積.由對稱性，得AF=CF，∠DAE=∠DCF.依據題干中的條件，可得AE=4，CE=2，由勾股定理或銳角三角函數，可分別求得EF與AF的值.

思路4：通過對稱，聚焦角平分線，解決問題.

部分學生利用菱形的對角線平分一組對角，得到SDFE∶S△DFA=FE∶AF=DE∶AD，從而求得結論.

設計意圖：通過問題驅動，激發學生的思維，在小組討論的過程中，找到各種思路的共同點.感受軸對稱變換在特殊平行四邊形中的運用，學會將四邊形問題轉化為三角形問題進行解決.同時，回顧解決三角形問題的常用方法，提升學生的推理、運算能力.

問題4 如果將例題中的菱形的邊長和面積條件都去掉，添加“∠ADC=α”，保留“AE⊥CD于點E，連接BD，交AE于點F.連接CF，記△AFD的面積為S1，△BFC的面積為S2”，是否還能求S1∶S2？

追問1：α確定時，菱形的形狀確定嗎？剛才的方法是否還適用？

追問2：S1與S2的比值與哪個條件有關？

追問3：如果去掉“AE⊥CD”，設DE∶CE=k，能否求S1∶S2？

設計意圖：將問題從特殊推廣到一般，感受解決問題方法的不變性，引導學生在具體問題中學會抓住問題的本質，在特殊的平行四邊形問題中提升解決三角形問題的能力.

挑戰：如圖6所示，在正方形ABCD中，點G在BC的延長線上運動，線段AG與對角線BD交于點H，設CG∶BC=k，△ADH和以點C，H，D，G為頂點的四邊形的面積分別為S1和S2，求S2∶S1（用含k的代數式表示）.

問題5 你打算如何求S2∶S1？

追問1：直接求有困難，能否轉化？

過點H作HE⊥DC于點E，具體轉化過程如圖7所示.

2.5 引領梳理，拓展學生的學習深度

（1）等腰三角形與矩形、菱形有什么聯系？

（2）借助軸對稱的視角研究特殊的四邊形，從定性分析，可以得到哪些關系？

（3）利用軸對稱性，可以采用什么方法解決特殊的四邊形的問題？

軸對稱視角下“特殊的平行四邊形”復習課的教學內容如圖8所示.

3 教學思考

所謂深度學習，就是指在教師的引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程［1］.筆者通過本節課的教學設計與課堂實踐，對復習課教學有如下思考與理解.

3.1 知識結構化

數學內容蘊含在數學知識的內部，無法一眼看穿，研究過程中，需要著眼于它與相關內容的聯系，在運動變化過程中掌握它.深度學習主張教學內容以內在結構的方式構成學習單元.無論是新課與復習課都主張追尋知識內在的邏輯，通過單元整體的方式展開.這就提醒教師備課時要關注知識的邏輯起點，抓住知識內在的邏輯關系.復習課是對知識進行有序的梳理、聯系、拓展，將原本零落分散、彼此分割的知識組成一個個統一的整體.比如，一個數學問題可以有多種表征，代數形式或幾何形式，新授課上對二者往往有傾向性，而復習課中就可以將二者有機結合.課堂上，設計恰當的活動，讓學生主動、自然地構建知識圖譜，獲得解決綜合性問題的能力.此類復習對學生而言，仍屬于一種具有挑戰性的學習主題，是一種創造性活動.

3.2 方法再認識

數學方法的認識需要借助解題，但并不是“題海戰術”.《禮記·學記》中有云：“道而弗牽，強而弗抑，開而弗抑.”幾何教學中的方法較代數而言，缺乏程序性，很難用具體的步驟來描述，在鍛煉學生思維的同時，也加大了學習難度.學習解決幾何問題的方法，需要學生在過程中不斷思考、頓悟、再創造，這就要求教師依據學生的思維路徑，有序地呈現學生解決問題的過程、想法，在學生思維受阻時，給予及時的追問，幫助學生找到思路受阻原因，而不是直接強行告知結果.

3.3 經驗多遷移

復習課上題不在多，而在于精.選擇典型的例題，引導學生掌握研究問題的一般套路.用運動變化的眼光，對所研究的內容進行“特殊化”“一般化”，或者用“類比”等方式，對問題進行再開發，設置便于學生經歷“再發現”的過程性問題.不僅在變換形式中挖掘問題的本質，同時，在成功與失敗的體驗中“學會學習”.學生能夠將這種潛移默化的思考習慣、解決問題的一般方法遷移到獨立解決新問題中.這樣的經驗還能幫助學生學會自己發現問題、提出問題、分析問題、解決問題.長此以往，數學對學生而言不再是枯燥的解題，而是像科學家一樣在探究問題.

3.4 思想需浸潤

數學思想方法需要“言傳身教”，需要將其蘊藏在一系列具體的教學內容中.學習應該從什么角度來研究，如何研究，如何拓展研究，課堂上讓學生經歷實驗、猜想、聯想、類比、合情推理等分析、解決問題的過程，還原數學家探索、發現事物內在規律的過程.讓學生感受前后知識的學習中，研究路徑和思想方法的一致性.思考如何將一個新問題轉化為已解決的問題.特殊的平行四邊形的復習中，可通過中心對稱視角、軸對稱視角來復習矩形、菱形；通過旋轉對稱視角來復習正方形.始終不變的是將特殊的四邊形問題轉化為三角形問題.由此可見，轉化、化歸等數學思想潛移默化地貫穿課堂始終.

3.5 思維要發展

教之道在于“度”，學之道在于“悟”.教會學生舉一反三地學習數學知識，用相同的“套路”解決不同的問題.學生的思維要發展，教師的問題串設計尤為重要.一是情境創設中的問題串設計要由淺入深、循序漸進、相互關聯，目的是引發學生的興趣，幫助學生快速理清已有的知識結構.二是在思維的難點處設計具有啟發性的問題串，在相互交流中捋清學生的思維路徑，通過問題驅動加以點撥，啟發并提高學生的思維.三是在小結環節設計相應的問題串，通過問題串引導學生再次回顧基礎知識、基本方法、基本活動經驗.給學生充分的思考時間，讓他們帶著問題思考，有邏輯地探究.

筆者通過本節課的教學設計與展示，以期實現教師對中考復習教學的改進、思考，精準、有效地進行復習教學.當然，由于本人水平有限，教學過程中還有很多可待商榷之處，希望以此起到拋磚引玉的功效，期待更多的數學教育有識之士提出教學建議，共享數學課堂的深度教學.

參考文獻：

［1］郭華.如何理解“深度學習”［J］.四川師范大學學報（社會科學版），2020（1）：89-95.

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