巧用“將軍飲馬”模型求解最值問題

李傳煜

摘要：最值問題是初中數學常見的問題類型，其題型靈活多變，很多地區的中考試卷中有關動點最值的問題都涉及到“將軍飲馬”，因此結合中考試題對最值問題加以探究，解讀“將軍飲馬”基本模型，探究典型的考題類型.

關鍵詞：將軍飲馬；最值；線段和

最值問題是近幾年中考的熱點，這類問題涉及到的知識很多，題型多樣，通常需要找到特殊情況，再結合特定的數學模型進行解決.本文中以全國各地中考題為例，對如何構建“將軍飲馬”模型求解最值問題進行了探討.

1 “將軍飲馬”模型

基本模型：兩定點+一動點.

已知兩定點A，B在直線l同一側，在直線l上找一點P，使得PA+PB最小.

解法：如圖1，作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′與定直線l的交點P即為所求的點，且PA+PB的最小值就等于AB′的長，其基本原理是“兩點之間線段最短”.

2 模型應用

2.1 求線段和的最值

例1 （2022年山東德州）如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點E在BC上，CE=2，M是對角線BD上的一個動點，求EM+CM的最小值.

分析：由題可知C，E是定點，BD為定直線，M是BD上一動點，且定點C，E在BD的同側.根據以上分析，可以聯想到“兩定點+一動點”的“將軍飲馬”模型.此類問題常通過平移、翻折、旋轉等方法轉化為“兩點之間線段最短”來求出最小值.本題定點C比定點E更容易找到其對稱點，進而將同側兩定點轉化為異側兩定點，求出EM+CM的最小值.

解析：如圖3，由正方形的性質，可知點A，C關于直線BD對稱.

連接AM，根據對稱性可知AM=CM.

所以（EM+CM）min=（AM+EM）min.

根據兩點之間線段最短，

當A，M，E三點共線時，AM+EM取最小值，即為線段AE的長.

因為BE=4，AB=6，

所以

AE=AB2+BE2=62+42=213.

所以EM+CM的最小值為213.

2.2 求幾何圖形周長的最值

例2 （2023年四川宜賓）如圖4，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點C（3，0），頂點A，B（6，m）恰好落在反比例函數y=kx第一象限的圖象上.

（1）分別求反比例函數的表達式和直線AB所對應的一次函數的表達式.

（2）在x軸上是否存在一點P，使△ABP的周長最小？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

分析：此處只分析第（2）問，要求△ABP周長的最小值，即求線段AP+BP+AB的最小值.由于A，B為定點，P為x軸上一動點，且定點A，B在x軸的同側，因此可聯想到“兩定點+一動點”的“將軍飲馬”模型.由題意可知AB的長為定值，因此只需要求AP+BP的最小值即可.

解析：（2）由（1）可知，反比例函數的解析式為y=6x.

如圖5，過點A和點B分別作x軸的垂線，交x軸于點D，E.

因為AC=BC，∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，所以△ADC≌△CEB.

所以CE=AD.又OE=6，OC=3，所以CE=AD=3.

所以yA=6xA=3，即xA=2，則A（2，3）.

因為yB=66=1，所以B（6，1）.

所以AB=（6－2）2+（1－3）2=25.

作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′P.

所以（AP+BP）min=（A′P+BP）min.

根據兩點之間線段最短，當A′，P，B三點共線時，A′P+BP取最小值，即為線段A′B的長.

由題意得A′（2，－3），

所以

A′B=（6－2）2+（1+3）2=42.

所以△ABP周長的最小值為42+25.

2.3 求拋物線背景下的線段最值及點的坐標

例3 （2022年天津）如圖6，已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a>0）的頂點為P，與x軸相交于點A（－1，0）和點B.

（1）若b=－2，c=－3，①求點P的坐標；②直線x=m（m是常數，1

（2）若3b=2c，直線x=2與拋物線相交于點N，E是x軸的正半軸上的動點，F是y軸的負半軸上的動點，當PF+FE+EN的最小值為5時，求點E，F的坐標.

分析：此處只分析第（2）小問，由于P，N為拋物線上的定點，E為x軸上的動點，F是y軸上的動點，EF為定長，根據以上分析可聯想到“兩定點+兩動點”的“將軍飲馬”模型.由題意可知EF為定值，因此只需要求PF+EN的最小值，再通過題意求出直線EF的方程，進而求出點E，F的坐標.

解析：（2）由拋物線與x軸交于A（-1，0），可知a-b+c=0，又3b=2c，則b=-2a，c=-3a，所以拋物線的解析式為y=ax2-2ax-3a（a＞0）.

所以由拋物線y=a（x－1）2－4a，得P（1，－4a）.

如圖7，作點P關于y軸的對稱點P′，連接P′F.

根據對稱性，可知P′F=PF.

作點N關于x軸的對稱點N′，連接N′E.

根據對稱性，得N′E=NE.

所以（PF+FE+EN）min=（P′F+FE+N′E）min.

根據兩點之間線段最短，當P′，F，E，N′四點共線時，P′F+FE+N′E取最小值，即為線段P′N′的長.

將x=2代入拋物線解析式，可得yN=-3a，則點N坐標為（2，-3a），所以N′（2，3a）.

又點P′坐標為（-1，-4a），所以

P′N′=（2+1）2+（7a）2=5.

解得所以a2=1649，即a=47，或a=－47（舍）.

所以P′-1，－167，N′2，127.

設直線P′N′的解析式為y=kx+b.

將點P′，N′的坐標代入，可得－167=-k+b，127=2k+b.

解得k=43，b=－2021.

所以直線P′N′：y=43x－2021.

分別令x，y=0，可得E57，0，F0，－2021.

解決“將軍飲馬”問題，究其本質就是利用“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”的基本原理，用幾何變換將若干原本彼此分離的線段組合到一起，即“化折為直”［1］，進而解決問題.

參考文獻：

［1］丁力.初中數學幾何最值問題探究——以“將軍飲馬”問題模型的解題策略為例［J］.數學教學通訊，2020（14）：79-80.

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