初中數學概率問題的不同解法分析

吳剛

摘要：概率是初中數學知識的重要部分，概率問題在中考中常常出現，尤其是對隨機事件發生的概率的預測，幾乎是必考的內容.本文中以常見的求解方法，即列舉法、列表法、畫樹狀圖法等進行例題分析.

關鍵詞：概率與統計；列舉法；列表法；畫樹狀圖法

概率問題已成為中考命題的熱點和亮點.初中數學中的概率問題大多與生活實際問題聯系緊密，非常具有實踐意義.因此，讓學生在解決實際問題的過程中感受概率知識的運用可以加深對數學概念的理解.

1 列舉法

列舉法求概率是建立在等可能的前提下，在沒有排列、組合相關知識的基礎下，通過列舉出所有等可能結果來求概率的一種方法.解題思路大致為：①分析題意，明確題中的步驟以及順序；②根據步驟和順序，列舉出一次試驗的所有可能性；③根據列舉的所有可能性以及事件A出現的情況，明確m，n并代入P（A）=mn計算即可求出概率［1］.如以下例題所示.

例1 一個音樂大廳有2個出口和3個入口，來音樂大廳的人可以從任意一個入口進入，參觀結束后也可以從任意一個出口離開.音樂選手小明從1號入口進入，并且從1號出口離開的概率是多少？

分析：首先根據題中已知條件分析題意，將所求事件記作事件M，列舉出一次出入的所有可能性，然后根據列舉的所有情況以及事件M出現的情況確定m，n并代入P（M）=mn計算即可求出概率.

解：將“小明從1號入口進入，并且從1號出口離開”記作事件M.

一次出入的所有可能出現的結果有：

1入1出，1入2出，2入1出，

2入2出，3入1出，3入2出.

所以，所有等可能的結果一共有6種，其中

事件M包含的情況只有1種.

所以P（M）=16.

例2 明明和朋友們在玩一個抽卡片的游戲，有兩堆卡片，第一堆卡片有三張牌（用數字卡片1，2，3表示），第二堆卡片也有三張牌（用數字卡片4，5，6表示）.明明在不看卡片下面數字的情況下，分別從兩堆中各隨機抽取一張，明明抽到卡片2和卡片6的概率是多少？

分析：首先根據題中已知條件分析題意，將所求事件記作事件M，列舉出一次抽取的所有可能性，最后根據列舉的所有情況以及事件M出現的情況確定m，n并代入P（A）=mn計算即可求出概率.

解：將“明明抽到卡片2和卡片6”

記作事件M.

一次抽取所有可能出現的結果有

（1，4），（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），一共有9種.其中

事件M包含的情況只有1種.

所以P（M）=19.

2 畫樹狀圖法

畫樹狀圖法是在已經初步了解隨機事件和概率有關概念的基礎上，畫出樹狀圖，列舉出一次試驗的所有可能，得出m，n，計算出隨機事件的概率.解題思路大致為：①分析題意，明確題中的步驟以及順序；②根據步驟和順序，畫出樹狀圖，列舉出一次試驗的所有可能性；③根據樹狀圖的最后一步，明確m，n并代入P（A）=mn計算即可求出概率.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例3 如圖1所示，有一個被平均分成三個扇形的裝置轉盤A和一個被平均分成四個扇形的裝置轉盤B，A盤和B盤分別各轉動一次.在轉動過程中，指針是保持不動的，指針若剛好在分割線上停止，則重新再轉一次，直到指針所停區域為數字時停止，求A和B兩個轉盤停止之后，兩個轉盤指針所指區域內的數字之和小于6的概率.

分析：首先根據題中已知條件分析題意，明確解題步驟以及順序，然后畫出樹狀圖（如圖2），列舉一次試驗的所有可能性，再根據樹狀圖的最后一步明確m，n并代入P（A）=mn計算即可求出概率.

解：將“數字之和小于6”

記作事件M.

由圖2可知，

所有等可能的結果一共有12種，事件M包含的情況有6種.

故P（M）=612=12.

例4 如圖3所示，有兩個被平均分成三個扇形的裝置轉盤A和裝置B，裝置A上的數字是3，6，8，裝置B上的數字是4，5，7，小東和小明分別轉A盤、B盤，哪一方轉到的數字大則哪一方獲勝（指針若剛好在分割線上停止，則重新再轉一次，直到指針所停區域為數字時停止），請問這個游戲公平嗎？

分析：該例題與例3相似，首先根據題中已知條件分析題意，明確解題步驟和順序，然后畫出樹狀圖，列舉出一次試驗的所有可能性，再根據樹狀圖的最后一步明確m，n并代入P（A）=mn計算即可求出概率.

解：由圖4可知，一次試驗的

所有等可能的結果一共有9種.

所以小東獲勝的概率為59，

小明獲勝的概率為49.

因此，這個游戲并不公平.

3 列表法

列表法適合有兩個步驟，每個步驟出現的結果可能性比較多，列舉每一種情況太繁雜時求概率的情況，通過表格列出所有等可能結果來求概率的一種方法.解題思路大致為：①分析題意，明確題中的步驟以及順序；②根據步驟和順序畫出表格，列出一次試驗的所有可能性，③根據表中的所有可能性以及事件A出現的情況明確m，n并代入P（A）=mn計算即可求出概率［2］.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例5 轉動如圖5所示的轉盤，轉盤分別都被平均分成五部分，各旋轉一次，將所得的數字相加，它們的和是3的倍數的概率是多少？

分析：首先根據題中已知條件分析題意，明確題中的步驟以及順序，然后畫出表格，列出一次試驗的所有可能性，最后根據列表明確m，n并代入P（A）=mn計算即可求出概率.

解：將“它們的和是3的倍數”

記作事件M.

由表1可知，一次試驗

所有可能出現的結果一共有25種，事件M包含的情況共有9種.

故P（M）=925.

根據上述不同的求概率問題的例題分析，可以得到利用列舉法、畫樹狀圖法以及列表法求事件概率的方法.針對不同類型問題，采取相對應的解題方法進行解答.在解題過程中，應加強對問題條件的分析應用，借助已知條件和相關性質去靈活解答，以此提高解題的效率；同時，也應謹記各部分的注意事項，記住各種方法的適用范圍，在考試中靈活運用，避免出現錯誤.

參考文獻：

［1］林淑理.初中數學概率教學的有效指導策略探索［J］.數學之友，2022，36（10）：18-19，22.

［2］葛朝霞.初中數學概率教學探析［J］.中學數學教學參考，2021（12）：28-30.

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