數形結合思想在初中數學解題中的應用

修仰尚

(福建省長汀縣第三中學,福建 龍巖 366300)

數形結合是一種高效的解題方法,其側重于利用圖形的直觀性來輔助數學概念的理解和問題的解決[1].文章旨在深入探討數形結合思想在初中數學解題中的運用,揭示如何運用這一策略有效增強學生對數學概念的理解,并促進學生解題技能的提升[2].數形結合不僅僅是一種提高數學可接近性的教學工具,更是一種培養學生空間感知和邏輯推理能力的思維模式,對初中數學教學的深度和廣度有著積極影響.

1 幾何與圖形結合的應用

例1 如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=35 cm,邊長12 cm的正方形CDEF內接于△ABC.求△ABC的周長.

圖1 例1題圖

具體解題過程如下：

(1)設置變量：設BC=a,AC=b,根據勾股定理可以得到方程a2+b2=352.

(2)利用幾何性質：由于正方形CDEF內接于△ABC,根據幾何性質可知,Rt△AFE與Rt△ACB相似.根據相似三角形的性質,有FE：CB=AF：AC,從而可得方程12b=a(b-12).

(3)方程求解：結合這兩個方程,可以得到12(a+b)=ab.通過變形可得到(a+b)2=a2+b2+2ab=1225+24(a+b).這里將a+b看作一個整體,得到一個一元二次方程.

(4)計算結果：解方程,得到a+b=49(另一解a+b=-25,不符合題意,故舍去).因此,△ABC的周長為a+b+35=49+35=84(cm).

這個例題涵蓋了勾股定理、正方形的性質、相似三角形的判定與性質等知識點,其解題過程展示了數形結合思想的運用,即首先通過圖形的特征建立幾何關系,然后將這些關系轉化為數學方程進行求解.這種方法不僅提高了解題的效率,而且增強了對幾何概念和代數技能的綜合理解,體現了數形結合思想在初中數學解題中的重要作用.

2 方程與不等式的圖形可視化技巧

圖2 例2題圖

圖3 例3題圖

具體解題過程如下：首先確定不等式-x≥a對應數軸上的區域.這表示x的值必須小于或者等于-a.接下來,分析不等式x-1≥-b,這表明x的值可以等于b+1,但不可以大于這個值.聯合這兩個不等式,解集在數軸上表示為-a到b+1的閉區間.題目要求求解-x與x-1的乘積.結合兩個不等式,這個乘積的最大值在x取最小值-a和x取最大值b+1時出現,即-(-a)×(b+1-1).根據題目在數軸上的標記,a和b的數值可以直接讀出為a=-2和b= 4.將a和b的值代入上述代數式中,得到2×4=8.最終得出的乘積為 8,故選B.

數軸的可視化在此過程中起到了關鍵作用,可以直觀地識別和解決問題.通過數形結合,不僅簡化了問題的理解,而且提高了求解效率.

3 運用圖形解析函數特性

例3 給定兩個正比例函數的圖象,點A(2,0)位于x軸上.過點A作x軸的垂線,與這兩個函數的圖象相交于點B和點C.請計算△OBC的面積.

數形結合的方法加深了學生對函數概念的理解,使學生能夠通過觀察和分析圖形來解決數學問題.這種方法不僅加深了學生對函數在坐標平面上表示方法的理解,而且為學生解決問題提供了一種強有力的視覺工具.

4 實際應用問題中的數形結合策略

例4 考慮一個反映銷售數量(用x表示,單位為件)與銷售費用(用y表示,單位為元)之間關系的銷售情景,如圖4所示,它描述了某家企業按月向其銷售團隊支付銷售費用的兩個不同計劃.

圖4 例4題圖

(1)根據圖表數據,推導出兩個支付計劃下的銷售費用y1和y2與銷售數量x的函數關系式.

(2)從圖4中解讀這兩個支付計劃,概述每一種方案的推銷費支付機制.

(3)假設你是該銷售團隊的一員,基于這些信息,考慮你應如何選擇最適合你的薪酬計劃.

具體解題過程如下：

(1)觀察圖表,直觀看出y1與y2都隨著x的增加而增加,但增長的速率和起始點不同.直線y1從原點開始,表明無基本工資,完全依賴銷售量;而直線y2從y軸的300開始,表示有固定工資,再加上銷量提成.

(2)分析這兩條直線,可以得出它們的函數解析式y1=20x表示無底薪,是純提成方案.y2=10x+300表示有底薪加上提成.

(3)針對不同的銷售能力,推銷員可以選擇最優方案：銷量高于30件時,選擇方案y1較為有利;銷量不足30件時,選擇y2方案更為保險.

通過數形結合的策略,學生可以從圖形中直觀地理解和建立推銷費與銷售量之間的函數關系,進而做出基于數學分析的決策.此方法不僅使問題的解決更加直觀有效,而且幫助學生認識到數學工具在現實世界經濟決策中的實際應用價值.

5 數形結合解決“距離與相遇”問題

例5 一輛動車和一輛普通火車分別從西安和西寧同時出發,朝對方所在的城市前進.這里將普通火車運行的時長記為xh,兩列火車之間的距離記為ykm.圖5描繪了y隨x變化的關系.

圖5 例5題圖

依據圖5,解答下列問題：

(1)計算西安與西寧之間的實際距離及兩列火車啟程后多長時間相遇;確定普通火車到達目的地所需的整體時間,并推算其速度(以km/h為單位).

(2)基于圖表信息,推導出動車組的平均速率.

(3)在普通火車行駛th之后,動車組正好抵達西寧.估算在這個時刻,普通火車還需行進多少千米才能抵達西安?

數形結合策略在解決“距離與相遇”問題中的應用,讓學生通過圖形化的數據理解和解決實際問題,這種方法提高了解題的準確性和效率.

6 結束語

文章探討了數形結合思想在初中數學解題中的應用路徑,從幾何圖形的理解到方程與不等式的圖形化,再到函數特性的直觀分析,最后討論了數形結合在實際應用問題中的應用價值.這一教學方法不僅提高了學生的解題效率,而且深化了他們對數學概念的理解.展望未來,數形結合的策略應當在初中數學教學中得到更廣泛的應用.