利用“瓜豆原理”模型分析軌跡問(wèn)題

陳禮弦

(貴州省貴安新區(qū)普貢中學(xué),貴州 貴安新區(qū) 561113)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,軌跡問(wèn)題是教學(xué)的難點(diǎn),也是核心素養(yǎng)重點(diǎn)考查對(duì)象.根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生弄清楚“瓜豆原理”模型,利用其分析軌跡問(wèn)題,會(huì)收到事半功倍的效果.

“瓜豆原理”是一種數(shù)學(xué)問(wèn)題的形象描述,即若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值,夾角是定角,則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同.其中,主動(dòng)點(diǎn)叫作“瓜”,從動(dòng)點(diǎn)叫作“豆”.如果“瓜”在直線上運(yùn)動(dòng),那么“豆”的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線;如果“瓜”在圓周上運(yùn)動(dòng),那么“豆”的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.這種主從聯(lián)動(dòng)軌跡問(wèn)題被稱為“瓜豆原理”或“瓜豆模型”,在某一個(gè)特殊位置,就是我們要解決的軌跡問(wèn)題[1].

1 模型一 動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)

這類問(wèn)題的基本特點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線.其結(jié)論主要有兩個(gè)：一是主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)所在直線的夾角是一個(gè)定值;二是主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比值是一個(gè)定值.

1.1 模型分析

例1 如圖1,G為線段EF一動(dòng)點(diǎn),D為定點(diǎn),連接DG,取DG中點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)G在EF運(yùn)動(dòng)時(shí),畫(huà)出點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖1 例1題圖 圖2 例1解析圖

例2 如圖3,△DEF是等腰直角三角形,∠EDF=90°且DE=DF,當(dāng)點(diǎn)E在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí),畫(huà)出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖3 例2題圖 圖4 例2解析圖

解析如圖4,線段F′F″即為點(diǎn)F的軌跡.取點(diǎn)F的起始位置F′和終點(diǎn)位置F″,連接即得點(diǎn)F軌跡為線段F′F″.因?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)E和從動(dòng)點(diǎn)F所在直線DE和DF的夾角為90°,易證△MND≌△F′F″D,主動(dòng)點(diǎn)E和從動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)之比值等于MN∶F′F″=1,所以點(diǎn)E、F的軌跡是同一圖形.

1.2 模型應(yīng)用

例3 如圖5,矩形DEFG中,DE=3,DG=4,點(diǎn)H在邊DG上且DH∶HG=1∶3.動(dòng)點(diǎn)I從點(diǎn)D出發(fā),沿DE運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E停止.過(guò)點(diǎn)H作HK⊥HI交射線EF于點(diǎn)K,設(shè)J是線段HK的中點(diǎn).求在點(diǎn)I運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中,點(diǎn)J運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng).

圖5 例3題圖 圖6 例3解析圖

2 模型二 動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)

這類問(wèn)題的基本特點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng),從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.其結(jié)論主要有兩個(gè)：一是主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角是定值;二是主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比值等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比值.

2.1 模型分析

例4 如圖7,F是⊙D上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E為定點(diǎn),連接EF,G為EF的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)F在⊙D上運(yùn)動(dòng)時(shí),畫(huà)出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖7 例4題圖 圖8 例4解析圖

解析如圖8,⊙C是點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡.連接ED,取ED的中點(diǎn)C,連接CG,以C為圓心,CG為半徑作⊙C,所以點(diǎn)F在⊙D上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)G在⊙C上運(yùn)動(dòng).即⊙C是點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡.因?yàn)橹鳌膭?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角∠FEG等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角∠DEC,是定值0°.又因?yàn)橹鳌膭?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離FE、GE之比值等于兩圓心到定點(diǎn)的距離DE、CE之比值,也等于兩圓半徑DF、CG之比值,是定值.從而可知主動(dòng)點(diǎn)F在圓周上運(yùn)動(dòng),從動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.

例5 如圖9,M是⊙D上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),B為定點(diǎn),連接BM,在BM的上方以BM為邊作等邊△BCM.當(dāng)點(diǎn)M在⊙D上運(yùn)動(dòng)時(shí),畫(huà)出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖9 例5題圖 圖10 例5解析圖

解析如圖10,點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)E為圓心的圓,理由如下：點(diǎn)C滿足∠MBC=60°,BM=BC,點(diǎn)C的圓心E滿足∠DBE=60°,BE=BD,且EC=DM,可確定圓E的位置,任意時(shí)刻均有△BMD≌△BCE,可以理解BE是由BD旋轉(zhuǎn)得到,故圓E是由圓D旋轉(zhuǎn)得到的,旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均與BM與MC的位置和數(shù)量關(guān)系有關(guān).

例6 如圖11,F是⊙C上一動(dòng)點(diǎn),E為定點(diǎn),連接EF,以EF為斜邊在EF上方作等腰直角三角形EFD.當(dāng)點(diǎn)F在⊙C上運(yùn)動(dòng)時(shí),畫(huà)點(diǎn)D的軌跡.

圖11 例6題圖 圖12 例6解析圖

2.2 模型應(yīng)用

例7 如圖13,⊙E的直徑BC=4,D為⊙E上的動(dòng)點(diǎn),連接BD,F為BD的中點(diǎn),若點(diǎn)D在圓上運(yùn)動(dòng)一周,求點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

圖13 例7題圖 圖14 例7解析圖

如圖14,當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C處時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E處,當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B處時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)B處,所以EB是這個(gè)圓的直徑,這個(gè)圓是⊙G.又因?yàn)锽C=4,所以EB=2,所以GB=1,所以r=1,所以⊙G的周長(zhǎng)為2πr=2π,所以點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是2π.

例8 如圖15,FG=3,⊙F的半徑為1,E為⊙F上的動(dòng)點(diǎn),連接EG,在EG上方作一個(gè)等邊三角形EGH,連接FH.求FH的最大值.

圖15 例8題圖 圖16 例8解析圖

解析如圖16,以FG為邊在FG上方構(gòu)造等邊三角形△FGI,連接IH,以點(diǎn)I為圓心,IH為半徑作圓I.因?yàn)橹鳌膭?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線EG、HG的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線FG、IG的夾角,且是60°為定值.又因?yàn)橹鳌膭?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離EG、HG之比值等于兩圓心到定點(diǎn)的距離FG、IG之比值,也等于兩圓半徑FE、IH之比值,是定值1.因?yàn)椤螰GE=60°-∠EGI,∠IGH=60°-∠EGI,所以∠FGE=∠IGH.又因?yàn)镕G=IG,EG=HG,所以△FGE≌△IGH,所以IH=FE=1.從而可知點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡是以點(diǎn)E為圓心、1為半徑的圓,當(dāng)F、I、H三點(diǎn)共線且H在FI的延長(zhǎng)線上時(shí),FH的最大值為FI+IH=3+1=4,此時(shí)點(diǎn)H在點(diǎn)H′處.

3 結(jié)束語(yǔ)

在解決軌跡問(wèn)題時(shí),要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是否屬于“瓜豆原理”.如果主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡屬于“瓜豆原理”,就可以利用主動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線或主動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng),從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓解決軌跡問(wèn)題[2].