逆向思維視域下小學數學解題教學研究

蔡亞英

(漳州市平和縣第三實驗小學,福建 漳州 363700)

一直以來,學生在數學學習中所使用的思維均屬于正向思維模式.但是在部分數學問題中,無法直接套用數學公式,或者套用數學公式無法取得立竿見影的效果,依然面臨著繁雜的計算.基于此,運用逆向思維解決數學問題,已經成為教師研究的重點.《義務教育數學課程標準(2022年版)》也肯定了逆向思維對于學生的數學知識學習、數學能力強化及今后發展的重要價值,并據此提出了新的教學要求.鑒于此,在優化數學解題教學時,教師應指導學生運用逆向思維模式,不斷提升數學解題能力.

1 逆向思維與小學數學解題研究

在小學數學解題教學中,培養和發展學生的逆向思維能力,不僅有助于學生打破正向思維的束縛,還有助于引導學生多角度思考問題,進而靈活運用各種解題技巧,促進數學問題的有效解答.具體來說,其重要性集中體現在兩個方面.

1.1 有助于提升學生的數學解題效率

通常情況下,小學生在解決數學問題時,常常會選擇正向思維的方式,但是很多問題很難運用正向思維進行解答.當正向思維碰壁,無法解決數學問題時,即可借助逆向思維,將復雜的問題簡單化,以便于學生在逆向思考中,輕松解答原本繁雜的問題.例如,在計算9+99+999-48時,如果按照正向思維進行解題,學生需要經過大量的計算,不僅浪費了時間,且稍有不慎就會滿盤皆輸.基于此,即可借助逆向思維的模式,引導學生對題目進行轉化,使其成為(9+1)+(99+1)+(999+1)-51.如此,極大地減少了學生的計算量,避免了出錯現象,能夠顯著提升小學生的數學解題效率.

1.2 有助于打破學生的定向思維

逆向思維有助于學生更加全面、系統化地看待問題.在小學數學教學中,如果一味地進行正向思維訓練,學生極容易形成“單線條的思考”模式,導致其出現思維定式、問題考慮不全面等現象.通過逆向思維訓練,有助于學生突破定思維定式,在學習的過程中逐漸養成多角度看待問題、分析問題、解決問題的習慣.在這種思維模式下,也有助于學生對數學知識的遷移、內化,實現觸類旁通、舉一反三[1].

2 逆向思維在小學數學解題中的具體應用

2.1 逆向分析,化繁為簡

在優化解題教學時,教師可指導學生展開逆向分析,從結果出發,重新進行思考并解題.

由此可以看出,通過逆向思維的融入,原本比較復雜的數學題目變得更加簡單,不僅降低了學生的運算難度,也提升了學生的數學解題速度.

例2 一家人吃一筐梨,第一天吃了總數的一半多一個,第二天吃掉剩下的一半多一個,第三天吃掉剩下的一半多一個.以此類推,到了第五天之后,筐中只剩下一個梨.那么,原來筐中有多少梨?

解析如果按照常規思維解決本題,學生需要先假設原來筐中的梨為x個,之后運用分數知識列出一個非常復雜的方程.鑒于此,可借助逆向思維的方式,從問題的結論出發,以第五天剩下的梨數為基礎出發,依次向前逆推,那么第四天梨的個數為(1+1)×2=4(個),第三天梨的個數為(4+1)×2=10(個),第二天梨的個數為(10+1)×2=22(個),第一天梨的個數為(22+1)×2=46(個).

由此可見,通過逆向思維的應用,以結果為導向,一步步向前推,即可輕松找到問題的答案.

2.2 逆向思維,分析題目中已知條件

在解決數學問題之前,學生在審題時,必須分清已知條件和所求結論.在逆向思維的輔助下,學生在解決問題時,可一反常態從所求結論入手,推導要想實現這一結論,需要具備什么樣的條件,進而在所求結論的引導下得出正確的答案.

例3 一個廠家要生產某零件,原計劃需要用10天生產完畢,每天生產2 000個.但是廠家為了提前交工,實際上每天多生產500個.實際比原計劃提前幾天完成任務?

解析在分析這一問題時,即可運用逆向思維.要想求出實際比原計劃提前幾天完成,需要獲得兩個已知條件,即實際生產所用時間和計劃時間.在本題目中,計劃時間是已知條件,只需要求出實際生產所用時間,即實際生產所用時間=總量÷單日生產量.可見,在逆向思維的輔助下,即可得出本題的解法,即10-2 000×10÷(2 000+500)=2.

例4 小明之前收集了一些卡片,在這個星期中又用自己的零花錢購買了20張.之后,小明送給小剛10張卡片,還剩下50張.那么,小明之前共有多少張卡片?

解析在分析并解答這一問題時,依然要借助逆向思維,通過倒推的方式對題目中的條件展開分析,最終形成具體的解題思路.從小明最終剩下的50張卡片入手,那么根據題目中的條件得出,小明在送給小剛之前的卡片為50+10=60(張).繼續逆推,根據題目中已知條件得知,小明自己又購買了20張卡片,而這20張卡是包含在60張之內,因此他在購買之前的卡片數量為60-20=40(張).最終經過逆推分析,得到本題目的答案為50+10-20=40(張).

由此可見,在逆向思維的輔助下,學生以結果為起點,通過層層逆推的方式,對題目中的已知條件展開分析,最終形成明晰的解題思路.

2.3 逆向思維,形成解題思路

進入到高年級之后,數學學科對學生的思維能力要求越來越高.在這種情況下,學生在日常做題訓練中,常常會遇到一些難度比較大的問題.如果學生依然按照常規的思維進行思考,就會陷入思維的困境,無法形成明確的解題思路.此時,教師可引導學生開展逆向思維,從所求的問題出發,層層剝繭,最終形成明確的解題思路.

例5 某養殖戶養殖的小豬和小雞一共有24只,小豬有4只腳,小雞有2只腳,共有54只腳,請問小豬、小雞各有多少只?

解析這一題目與“雞兔同籠”類型相似,學生如果按照常規的思路進行解題,就會受到限制,無從下手.鑒于此,可借助逆向思維的模式,從所求的問題出發,借助假設的方式求解.假設均為小雞,那么24只小雞應有48只腳,而多出來的腳自然是充當小雞的小豬.由此,通過逆向分析,學生即可形成明確的解題思路,即(54-24×2)÷2=3(只),因此,小雞的數量則為24-3=21(只).

由此可見,在這道題目中,學生就是在逆向思維的輔助下,以問題為導向,通過層層分析,逐漸形成了解題思路,迅速找到解題的“突破口”[2].

3 培養逆向解題思維,強化學生解題能力

鑒于逆向思維在小學數學解題中的應用價值,教師應有計劃、有意識地培養學生的逆向思維能力,使其在潛移默化的訓練中逐漸掌握這一解題技巧.

3.1 結合數學概念,滲透逆向思維

3.2 借助倒推法,培養小學生的逆向思維

倒推法是逆向思維的直觀體現,即引導學生從結論或者問題的角度出發進行思考.例如,給某個數加上6,乘以6,減去6之后的結果是36,求這個數是多少?在對這一類數學問題進行講解時,即可運用倒推法,將36看作是已知條件,那么原來的“減”就變成“加”,原來的“乘”就變成“除”,原來的“加”就變成“減”.如此,學生經過一段時間的倒推訓練,其逆向思維能力也會隨之提升.

3.3 巧用變式訓練,發展逆向思維

在培養學生逆向思維時,可運用變式訓練的模式,將正向思維和逆向思維結合到一起,促使二者形成強烈的反差,最終達到既定的思維訓練目標.例如,在“三角形面積”教學中,為了發展學生的逆向思維能力,首先給學生提出了一個常規性的問題：某三角形底邊長為5 m,高為2 m,如果其底邊長增加1 m,則三角形面積會增加多少?針對這一問題,學生即可運用常規思想,借助三角形面積公式,直接求得答案.在此基礎上,為了發展學生的逆向思維,可對題目進行變式：已知一個三角形底邊長為10 m,如果底邊每增加1 m,三角形的面積隨之增加3 m2,那么三角形底邊上的高是多少?在這一變式中,學生運用常規的思維,顯然無法解答.此時,即可引導學生采用逆向思維的方式,從題目中所求三角形的高入手,引導學生從三角形面積增加3 m2對應的底邊長出發,由此對三角形面積公式進行逆用,最終完成題目的解答.

4 結束語

逆向思維是解決小學數學教學中疑難問題的有力武器,學生的逆向思維能力也直接反映了其數學綜合素養.鑒于此,小學數學教師在日常解題教學中,應重視逆向思維能力在解題中的重要性,并結合日常數學基本概念、例題、變式訓練等模式,強化小學生的逆向思維意識,培養小學生的逆向思維能力,最終促使學生在學習中形成一定的逆向思維能力,并將其熟練應用到日常解題中.